Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), góc

Câu hỏi số 465579:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({30^0}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(AC\).

A. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{{13}}\)

B. \(\dfrac{{2a}}{{\sqrt {13} }}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt {39} }}{{3}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:465579

Phương pháp giải

- Dựng hình bình hành \(ACBD\), chứng minh \(d\left( {SB;AC} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\).

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BD\), trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\), chứng minh \(AH \bot \left( {SBD} \right)\).

- Xác định góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(SC\) và hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(SA\). Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(AH\).

Giải chi tiết

Dựng hình bình hành \(ACBD\) \( \Rightarrow AC//BD \Rightarrow AC//\left( {SBD} \right) \supset SB\)

\( \Rightarrow d\left( {SB;AC} \right) = d\left( {AC;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\).

Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(\Delta ABD\) cũng là tam giác đều.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BD\), trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AM\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BD \bot SH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BD\\AH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH\end{array}\)

Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {30^0}\).

Xét tam giác vuông \(SAC\) có: \(SA = AC.\tan {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vì \(\Delta ABD\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAM\) ta có:

\(AH = \dfrac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\)

Vậy \(d\left( {SB;AC} \right) = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.