Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(\angle BAC = {90^0}\), \(AB = 3a,\,\,AC = 4a\), hình chiếu của đỉnh \(S\) là

Câu hỏi số 465581:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(\angle BAC = {90^0}\), \(AB = 3a,\,\,AC = 4a\), hình chiếu của đỉnh \(S\) là một điểm \(H\) nằm trong \(\Delta ABC\). Biết khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau của hình chóp là \(d\left( {SA;BC} \right) = \dfrac{{6a\sqrt {34} }}{{17}}\), \(d\left( {SB;CA} \right) = \dfrac{{12a}}{5}\), \(d\left( {SC;AB} \right) = \dfrac{{12a\sqrt {13} }}{{13}}\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).

A. \(9{a^3}\)

B. \(12{a^3}\)

C. \(18{a^3}\)

D. \(6{a^3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:465581

Giải chi tiết

Dựng \(\Delta MNP\) sao cho \(AB,\,\,BC,\,\,CA\) lần lượt là đường trung bình của \(\Delta MNP\) như hình vẽ.

Khi đó ta có \(ABCP\) là hình chữ nhật.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC//NP\\NP \subset \left( {SNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SNP} \right) \supset SA\) \( \Rightarrow d\left( {SA;BC} \right) = d\left( {BC;\left( {SNP} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SNP} \right)} \right)\).

Lại có: \(PM \cap \left( {SNP} \right) = N\) \( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {M;\left( {SNP} \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( {SNP} \right)} \right)}} = \dfrac{{MN}}{{BN}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SNP} \right)} \right) = 2d\left( {B;\left( {SNP} \right)} \right) = \dfrac{{12a\sqrt {34} }}{{17}}\).

Chứng minh tương tự ta có: \(d\left( {N;\left( {SMP} \right)} \right) = \dfrac{{24a\sqrt {13} }}{{13}}\) và \(d\left( {P;\left( {SMN} \right)} \right) = \dfrac{{24a}}{5}\).

Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên các cạnh \(NP,\,\,PM,\,\,MN\).

Đặt \(SH = h\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}NP \bot SH\\NP \bot HD\end{array} \right. \Rightarrow NP \bot \left( {SHD} \right)\), chứng minh tương tự ta có \(PM \bot \left( {SHE} \right),\,\,MN \bot \left( {SHF} \right)\).

Do đó

\(\begin{array}{l}3{V_{SMNP}} = d\left( {M;\left( {SNP} \right)} \right).{S_{\Delta SNP}} = d\left( {N;\left( {SMP} \right)} \right).{S_{\Delta SMP}} = d\left( {P;\left( {SMN} \right)} \right).{S_{\Delta SMN}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = d\left( {S;\left( {MNP} \right)} \right).{S_{\Delta MNP}} = h.{S_{\Delta MNP}}\end{array}\)

Mà

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta SNP}} = \dfrac{1}{2}SD.NP = 5a.SD\\{S_{\Delta SMP}} = \dfrac{1}{2}SE.MP = 3a.SE\\{S_{\Delta SMN}} = \dfrac{1}{2}SF.MN = 4a.SF\\{S_{\Delta MNP}} = 4{S_{\Delta ABC}} = 4.\dfrac{1}{2}.3a.4a = 24{a^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{12a\sqrt {34} }}{{17}}.5a.SD = \dfrac{{24a\sqrt {13} }}{{13}}.3a.SE = \dfrac{{24a}}{5}.4a.SF = 24{a^2}h\\ \Rightarrow SD = \dfrac{{h\sqrt {34} }}{5},\,\,SE = \dfrac{{h\sqrt {13} }}{3},\,\,SF = \dfrac{{5h}}{4}\end{array}\)

Ta lại có:

\(\begin{array}{l}HD = \sqrt {S{D^2} - S{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{34{h^2}}}{{24}} - {h^2}} = \sqrt {\dfrac{{9{h^2}}}{{25}}} = \dfrac{{3h}}{5}\\HE = \sqrt {S{E^2} - S{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{13{h^2}}}{9} - {h^2}} = \sqrt {\dfrac{{4{h^2}}}{9}} = \dfrac{{2h}}{3}\\HF = \sqrt {S{F^2} - S{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{25{h^2}}}{{16}} - {h^2}} = \sqrt {\dfrac{{9{h^2}}}{{16}}} = \dfrac{{3h}}{4}\end{array}\)

Mà

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta MNP}} = {S_{\Delta HMP}} + {S_{\Delta HMN}} = \dfrac{1}{2}HD.NP + \dfrac{1}{2}HE.MP + \dfrac{1}{2}HF.MN\\ \Rightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3h}}{5}.10a + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2h}}{3}.6a + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3h}}{4}.8a = 24{a^2}\\ \Rightarrow 8ah = 24{a^2} \Rightarrow h = 3a\end{array}\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}h.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.3a.\dfrac{1}{2}.3a.4a = 6{a^3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.