Một biển quảng cáo có dạng hình elip với 4 đỉnh \({A_1},\,\,{A_2},\,\,{B_1},\,\,{B_2}\) như hình vẽ bên. Biết \({A_1}{A_2} = 8m,\,\,{B_1}{B_2} = 6m\) và tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật với \(MQ = 3m\). Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200 000 đồng/ \({m^2}\), và phần còn lại lại 100 000 đồng/ \({m^2}\). Hỏi số tiền cần để sơn gần nhất với đáp án nào?

Câu 466693: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với 4 đỉnh \({A_1},\,\,{A_2},\,\,{B_1},\,\,{B_2}\) như hình vẽ bên. Biết \({A_1}{A_2} = 8m,\,\,{B_1}{B_2} = 6m\) và tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật với \(MQ = 3m\). Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200 000 đồng/ \({m^2}\), và phần còn lại lại 100 000 đồng/ \({m^2}\). Hỏi số tiền cần để sơn gần nhất với đáp án nào?

A. 7 322 000 đ

B. 7 213 000 đ

C. 5 526 000 đ

D. 5 782 000 đ

Câu hỏi : 466693

Quảng cáo

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Elip có độ dài trục lớn là \(2a = 8 \Rightarrow a = 4m\).

Độ dài trục bé là \(2b = 6 \Rightarrow b = 3m\), suy ra diện tích elip là:

\(S = \pi ab = 12\pi \,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó elip có phương trình chính tắc là: \(\left( E \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\).

Ta có \(MQ = NP = 3 \Rightarrow N\left( {{x_0};\dfrac{3}{2}} \right),\,\,{x_0} > 0\).

Do \(N \in \left( E \right) \Rightarrow {x_0} = 2\sqrt 3 \Rightarrow N\left( {2\sqrt 3 ;\dfrac{3}{2}} \right)\).

Từ \(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = 9\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{16}}} \right) \Leftrightarrow y = \pm \dfrac{3}{4}\sqrt {16 - {x^2}} \)

Gọi \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \dfrac{3}{4}\sqrt {16 - {x^2}} \), \(y = 0\), \(x = 0,\,\,x = 2\sqrt 3 \).

Do tính đối xứng của hình elip nên diện tích phần tô đậm được tính

\({S_{TD}} = 4{S_1} = 4\int\limits_0^{2\sqrt 3 } {\dfrac{3}{4}\sqrt {16 - {x^2}} dx} = 3\int\limits_0^{2\sqrt 3 } {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \)

Đặt \(4\sin t \Rightarrow dx = 4\cos tdt\)

\(\begin{array}{l}{S_{TD}} = 3\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\sqrt {16 - 16{{\sin }^2}t} 4\cos tdt} \\\,\,\,\,\,\,\,\, = 48\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {{{\cos }^2}tdt} = 24\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \\\,\,\,\,\,\,\,\, = 24\left. {\left( {t + \dfrac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{3}} = 24\left( {\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}} \right) = 8\pi + 6\sqrt 3 \,\,\left( {{m^2}} \right)\end{array}\)

Diện tích phần còn lại là \(S' = 12\pi - \left( {8\pi + 6\sqrt 3 } \right) = 4\pi - 6\sqrt 3 \,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Số tiền cần để sơn là:

\(T = \left( {8\pi + 6\sqrt 3 } \right).200\,000\, + \left( {4\pi - 6\sqrt 3 } \right).100\,000 \approx 7\,322\,000\) (đồng).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.