Tìm tất cả các cặp số thực \(\left( {m;n} \right)\) sao cho phương trình \({x^2} + mx + n = 0\) có hai

Câu hỏi số 466811:

Vận dụng

Tìm tất cả các cặp số thực \(\left( {m;n} \right)\) sao cho phương trình \({x^2} + mx + n = 0\) có hai nghiệm \({x_1};\,x{}_2\) thỏa mãn \(\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) = - 2\) đồng thời phương trình \(2{x^2} + nx + m = 0\) có hai nghiệm \({x_3};\,x{}_4\) thỏa mãn \(\left( {2 - {x_3}} \right)\left( {2 - {x_4}} \right) = \dfrac{3}{2}\).

A. \(\left( {m;n} \right) = \left( {1; - 2} \right)\)

B. \(\left( {m;n} \right) = \left( { - 1; - 2} \right)\)

C. \(\left( {m;n} \right) = \left( { - 1;2} \right)\)

D. \(\left( {m;n} \right) = \left( {1;2} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:466811

Phương pháp giải

Sử dụng điều kiện có nghiệm và định lý Vi-et lần lượt cho mỗi phương trình.

Giải chi tiết

Ta có : \({x^2} + mx + n = 0\) \(\left( 1 \right)\) và \(2{x^2} + nx + m = 0\)\(\left( 2 \right)\)

Để hai phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi :

\(\Delta \ge 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} = {m^2} - 4n \ge 0\\{\Delta _2} = {n^2} - 8m \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\left( * \right)\).

Theo định lý Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = - m\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = n\end{array} \right.\,\) và \(\,\left\{ \begin{array}{l}{x_3} + {x_4} = \dfrac{{ - b}}{a} = \dfrac{{ - n}}{2}\\{x_3}{x_4} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{m}{2}\end{array} \right.\)

Theo đề bài , ta có : \(\,\left\{ \begin{array}{l}\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) = - 2\\\left( {2 - {x_3}} \right)\left( {2 - {x_4}} \right) = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_1} - {x_2} + {x_1}{x_2} = - 2\\4 - 2{x_4} - 2{x_3} + {x_3}{x_4} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}x_2^{} = - 2\\4 - 2\left( {{x_3} + {x_4}} \right) + {x_3}{x_4} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + m + n = - 2\\4 + n + \dfrac{m}{2} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + n = - 3\\\dfrac{m}{2} + n = \dfrac{{ - 5}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\n = - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Thay \(m = - 1;n = - 2\) vào \(\left( * \right)\), ta có :

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} = {\left( { - 1} \right)^2} - 4\left( { - 2} \right) = 9 \ge 0\\{\Delta _2} = {\left( { - 2} \right)^2} - 8\left( { - 1} \right) = 12 \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy \(\left( {m;n} \right) = \left( { - 1; - 2} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link