Cho biểu thức \(P = \log _a^2\left( {xy} \right) + {\log _{{a^2}}}\left( {{y^4}} \right) + \) \({\log _a}\left(

Câu hỏi số 467188:

Vận dụng cao

Cho biểu thức \(P = \log _a^2\left( {xy} \right) + {\log _{{a^2}}}\left( {{y^4}} \right) + \) \({\log _a}\left( {{x^6}{y^4} + {x^2}{z^2} + 2{x^4}{y^2}z} \right) + \dfrac{{12 + 5\sqrt {4z - {y^2}} }}{3}\). Với \(a > 1,\,\,\left| y \right| \ge 1\) thì \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(b\) khi \(a = {a_0}\) và \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) hoặc \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\). Hãy tính \(S = 21a_0^2 - 22{b^2} + 8\left( {\left| {{x_1}{y_1}{z_1}} \right| + \left| {{x_2}{y_2}{z_2}} \right|} \right)\).

A. \( - 37\)

B. \( - 42\)

C. \(44\)

D. \(42\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:467188

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}xy > 0\\4z > {y^2}\end{array} \right.\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \({x^6}{y^4} + {x^2}{z^2} \ge 2\sqrt {{x^8}{y^4}{z^2}} = 2{x^4}{y^2}z\).

Do đó ta có: \({x^6}{y^4} + {x^2}{z^2} + 2{x^4}{y^2}z \ge 4{x^4}{y^2}z\), lại có \(a > 1\) nên \({\log _a}\left( {{x^6}{y^4} + {x^2}{z^2} + 2{x^4}{y^2}z} \right) \ge {\log _a}\left( {4{x^4}{y^2}z} \right)\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,P \ge \log _a^2\left( {xy} \right) + {\log _{{a^2}}}\left( {{y^4}} \right) + {\log _a}\left( {4{x^4}{y^2}z} \right) + \dfrac{{12 + 5\sqrt {4z - {y^2}} }}{3}\\ \Leftrightarrow P \ge \log _a^2\left( {xy} \right) + \left[ {{{\log }_a}\left( {{y^2}} \right) + {{\log }_a}\left( {{x^4}{y^2}} \right)} \right] + {\log _a}\left( {4z} \right) + 4 + \dfrac{5}{3}\sqrt {4z - {y^2}} \\ \Leftrightarrow P \ge \log _a^2\left( {xy} \right) + {\log _a}\left( {{x^4}{y^4}} \right) + {\log _a}\left( {4z} \right) + 4 + \dfrac{5}{3}\sqrt {4z - {y^2}} \\ \Leftrightarrow P \ge \log _a^2\left( {xy} \right) + 4{\log _a}\left( {xy} \right) + 4 + {\log _a}\left( {4z} \right) + \dfrac{5}{3}\sqrt {4z - {y^2}} \\ \Leftrightarrow P \ge {\left[ {{{\log }_a}\left( {xy} \right) + 2} \right]^2} + {\log _a}\left( {4z} \right) + \dfrac{5}{3}\sqrt {4z - {y^2}} \ge {\log _a}\left( {4z} \right)\end{array}\)

Mà \(4z \ge {y^2}\) nên \({\log _a}\left( {4z} \right) \ge {\log _a}{y^2} = 2{\log _a}\left| y \right| \ge 2{\log _a}1 = 0\).

\( \Rightarrow P \ge 0\).

\( \Rightarrow {P_{\min }} = 0 = b\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^6}{y^4} = {x^2}{z^2}\\{\log _a}\left( {xy} \right) + 2 = 0\\4z = {y^2}\\\left| y \right| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^4} = {z^2}\\{\log _a}\left( {xy} \right) = - 2\\4z = 1\\y = \pm 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \dfrac{1}{2}\\{a^{ - 2}} = xy = \dfrac{1}{2}\\z = \dfrac{1}{4}\\y = \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\a = \sqrt 2 \\z = \dfrac{1}{4}\\y = \pm 1\\xy = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a_0} = \sqrt 2 ,\,\,{x_1} = \dfrac{1}{2},\,\,{y_1} = 1,\,\,{z_1} = \dfrac{1}{4}\\{a_0} = \sqrt 2 ,\,\,{x_2} = - \dfrac{1}{2},\,\,{y_2} = - 1,\,\,{z_2} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = 21a_0^2 - 22{b^2} + 8\left( {\left| {{x_1}{y_1}{z_1}} \right| + \left| {{x_2}{y_2}{z_2}} \right|} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 21.2 - 22.0 + 8\left( {\left| {\dfrac{1}{2}.1.\dfrac{1}{4}} \right| + \left| { - \dfrac{1}{2}.\left( { - 1} \right).\dfrac{1}{4}} \right|} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 42 + 8.\dfrac{1}{4} = 44\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.