Cho hình nón có chiều cao bằng \(4a\). Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón

Câu hỏi số 467191:

Vận dụng

Cho hình nón có chiều cao bằng \(4a\). Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng \(9\sqrt 3 {a^2}\). Thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón đã cho bằng:

A. \(10{a^3}\)

B. \(30{a^3}\pi \)

C. \(\dfrac{{100{a^3}\pi }}{3}\)

D. \(\dfrac{{80{a^3}\pi }}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:467191

Phương pháp giải

- Giả sử một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều \(SAB\) như hình vẽ. Gọi \(O\) là tâm mặt đáy của hình nón và \(H\) là trung điểm của \(AB\), khi đó ta có \(OH \bot AB\).

- Sử dụng tam giác đều tính \(AB,\,\,SH\). Áp dụng định lí Pytago tính \(OH,\,\,OA\).

- Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(R\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).

Giải chi tiết

Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều \(SAB\) như hình vẽ. Gọi \(O\) là tâm mặt đáy của hình nón và \(H\) là trung điểm của \(AB\), khi đó ta có \(OH \bot AB\).

Vì \(\Delta SAB\) đều nên \({S_{\Delta SAB}} = \dfrac{{S{A^2}\sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3 {a^2} \Rightarrow SA = 6a = SB = AB\). Khi đó \(SH = \dfrac{{SA\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SOH\) ta có: \(OH = \sqrt {S{H^2} - S{O^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 3 a} \right)}^2} - {{\left( {4a} \right)}^2}} = a\sqrt {11} \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAH\) ta có:\(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt {11} } \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 a\).

Vậy thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {\left( {2\sqrt 5 a} \right)^2}.4a = \dfrac{{80{a^3}\pi }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.