Cho hình nón có chiều cao bằng \(4a\). Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón
Cho hình nón có chiều cao bằng \(4a\). Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng \(9\sqrt 3 {a^2}\). Thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón đã cho bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Giả sử một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều \(SAB\) như hình vẽ. Gọi \(O\) là tâm mặt đáy của hình nón và \(H\) là trung điểm của \(AB\), khi đó ta có \(OH \bot AB\).
- Sử dụng tam giác đều tính \(AB,\,\,SH\). Áp dụng định lí Pytago tính \(OH,\,\,OA\).
- Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(R\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).
Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều \(SAB\) như hình vẽ. Gọi \(O\) là tâm mặt đáy của hình nón và \(H\) là trung điểm của \(AB\), khi đó ta có \(OH \bot AB\).
Vì \(\Delta SAB\) đều nên \({S_{\Delta SAB}} = \dfrac{{S{A^2}\sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3 {a^2} \Rightarrow SA = 6a = SB = AB\). Khi đó \(SH = \dfrac{{SA\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SOH\) ta có: \(OH = \sqrt {S{H^2} - S{O^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 3 a} \right)}^2} - {{\left( {4a} \right)}^2}} = a\sqrt {11} \).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAH\) ta có:\(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt {11} } \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 a\).
Vậy thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {\left( {2\sqrt 5 a} \right)^2}.4a = \dfrac{{80{a^3}\pi }}{3}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
