Cho hình chóp ngũ giác đều có tổng diện tích tất cả các mặt là \(S = 4\). Giá trị lớn nhất

Câu hỏi số 467192:

Vận dụng cao

Cho hình chóp ngũ giác đều có tổng diện tích tất cả các mặt là \(S = 4\). Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp ngũ giác đều đã cho có dạng \(\max V = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{{b\sqrt {\tan {{36}^0}} }}\), trong đó \(a,\,\,b \in {\mathbb{N}^*},\,\,\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Hãy tính \(T = a + b\).

A. \(15\)

B. \(17\)

C. \(18\)

D. \(16\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:467192

Giải chi tiết

Gọi chóp ngũ giác đều là \(S.ABCDE\) và \(O\) là tâm ngũ giác đều \(ABCDE\) \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCDE} \right)\).

Theo bài ra ta có \(S = 5{S_{\Delta SAB}} + {S_{ABCDE}} = 5\left( {{S_{\Delta SAB}} + {S_{OAB}}} \right) = 4\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Vì \(\Delta OAB\) cân tại \(O\) nên \(OM \bot AB\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OM\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow AB \bot SM\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}SM.AB,\,\,{S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}OM.AB\).

\( \Rightarrow 5\left( {\dfrac{1}{2}SM.AB + \dfrac{1}{2}OM.AB} \right) = 4 \Leftrightarrow AB\left( {SM + OM} \right) = \dfrac{8}{5}\)

Lại có \(ABCDE\) là ngũ giác đều nên \(\angle AOB = \dfrac{{{{360}^0}}}{5} = {72^0}\) \( \Rightarrow \angle AOM = {36^0}\).

Xét tam giác vuông \(OAM\) ta có \(MA = OM.\tan {36^0} \Rightarrow AB = 2OM.\tan {36^0}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2OM.\tan {36^0}\left( {SM + OM} \right) = \dfrac{8}{5}\\ \Rightarrow SM = \dfrac{4}{{5\tan {{36}^0}OM}} - OM\end{array}\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SOM\) ta có:

\(\begin{array}{l}S{M^2} = S{O^2} + O{M^2}\\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{4}{{5\tan {{36}^0}OM}} - OM} \right)^2} = S{O^2} + O{M^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{16}}{{25{{\tan }^2}{{36}^0}O{M^2}}} - \dfrac{8}{{5\tan {{36}^0}}} = S{O^2}\\ \Leftrightarrow SO = \sqrt {\dfrac{{16}}{{25{{\tan }^2}{{36}^0}O{M^2}}} - \dfrac{8}{{5\tan {{36}^0}}}} \end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{V_{S.ABCDE}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCDE}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}\sqrt {\dfrac{{16}}{{25{{\tan }^2}{{36}^0}O{M^2}}} - \dfrac{8}{{5\tan {{36}^0}}}} .5.\dfrac{1}{2}OM.2OM.\tan {36^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{5}{3}\sqrt {\dfrac{{16}}{{25{{\tan }^2}{{36}^0}O{M^2}}} - \dfrac{8}{{5\tan {{36}^0}}}} .O{M^2}.\tan {36^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\sqrt {10} }}{3}\sqrt {\dfrac{{2O{M^2}}}{5} - \tan {{36}^0}O{M^4}} \end{array}\)

Đặt \(t = OM\,\,\,\left( {t > 0} \right)\), xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{2{t^2}}}{5} - \tan {36^0}{t^4}\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{4}{5}t - 4\tan {36^0}{t^3}\).

\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 4t\left( {\dfrac{1}{5} - \tan {{36}^0}{t^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt {\dfrac{1}{{5\tan {{36}^0}}}} \)

Do đó \({V_{S.ABCDE}}\) đạt GTLN khi \(OM = \dfrac{1}{{\sqrt {5\tan {{36}^0}} }}\).

Khi đó \(\max {V_{S.ABCDE}} = \dfrac{{2\sqrt {10} }}{3}\sqrt {\dfrac{2}{5}.\dfrac{1}{{5\tan {{36}^0}}} - \tan {{36}^0}\dfrac{1}{{25{{\tan }^2}{{36}^0}}}} \)

\( = \dfrac{{2\sqrt {10} }}{3}\sqrt {\dfrac{2}{{25\tan {{36}^0}}} - \dfrac{1}{{25\tan {{36}^0}}}} = \dfrac{{2\sqrt {10} }}{{15\sqrt {\tan {{36}^0}} }}\)

\( \Rightarrow a = 2,\,\,b = 15\).

Vậy \(T = a + b = 2 + 15 = 17\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.