Một loại kẹo có hình dạng là khối cầu với bán kính bằng 1cm và được đặt trong vỏ kẹo
Một loại kẹo có hình dạng là khối cầu với bán kính bằng 1cm và được đặt trong vỏ kẹo có dạng hình chóp tứ giác đều (các mặt của vỏ tiếp xúc với kẹo). Biết rằng khối chóp đều tạo thành từ vỏ kẹo đó có thể tích bé nhất, tính tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh của vỏ kẹo.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Khi đó tâm \(I\) của hình cầu cũng chính là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta SMN\) và \(IH = IO = 1\).
Đặt \(SO = x > 1\) ta có \(SI = SO - OI = x - 1\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SIH\) ta có \(SH = \sqrt {S{I^2} - I{H^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1} = \sqrt {{x^2} - 2x} \,\,\left( {x > 2} \right)\)
Dễ thấy \(\Delta SIH \approx \Delta SMO\,\,\left( {g.g} \right)\) nên \(\dfrac{{MO}}{{IH}} = \dfrac{{SO}}{{SH}} \Rightarrow MO = \dfrac{{IH.SO}}{{SH}} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}\).
\( \Rightarrow MN = 2MO = \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }} = AB\).
Khi đó ta có \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}x.\dfrac{{4{x^2}}}{{{x^2} - 2x}} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{{x^2}}}{{x - 2}}\).
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\dfrac{{{x^2}}}{{x - 2}} = x - 2 + \dfrac{4}{{x - 2}} + 4 \ge 2\sqrt {\left( {x - 2} \right).\dfrac{4}{{x - 2}}} + 4 = 8\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x - 2 = \dfrac{4}{{x - 2}} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow x - 2 = 2 \Leftrightarrow x = 4\).
Với \(x = 4 = SO\) ta có \(MO = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }} = \dfrac{4}{{\sqrt {{4^2} - 2.4} }} = \sqrt 2 \Rightarrow AB = 2\sqrt 2 \).
Áp dụng định lí Pytago ta có \(SM = \sqrt {S{O^2} + O{M^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}SM.AB = \dfrac{1}{2}.3\sqrt 2 .2\sqrt 2 = 6\).
Vậy tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh của vỏ kẹo là: \(S = 4{S_{\Delta SAB}} = 24\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
