Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt thuộc các

Câu hỏi số 467194:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt thuộc các cạnh \(SA,\,\,SD\) sao cho \(3SM = 2SA\), \(3SN = 2SD\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(MN\) cắt các cạnh \(SB,\,\,SC\) lần lượt tại \(P,\,\,Q\). Đặt \(\dfrac{{SQ}}{{SB}} = x\), \({V_1}\) là thể tích của khối chóp \(S.MNPQ\), \(V\) là thể tích của khối chóp \(S.ABCD\). Tìm \(x\) để \({V_1} = \dfrac{1}{2}V\).

A. \(x = \dfrac{{ - 2 + \sqrt {58} }}{6}\)

B. \(x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {41} }}{4}\)

C. \(x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{4}\)

D. \(x = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:467194

Phương pháp giải

- Chứng minh \(PQ//AD//BC\).

- Sử dụng tỉ số thể tích tính \(\dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ADC}}}}\), \(\dfrac{{{V_{S.MPQ}}}}{{{V_{S.ACB}}}}\), từ đó tính \({V_{S.MNPQ}}\) theo \({V_{S.ABCD}}\).

- Giải phương trình tìm \(x\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = MN\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = PQ\\AD \subset \left( {SAD} \right),\,\,BC \subset \left( {SBC} \right),\,AD//BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow PQ//AD//BC\).

Khi đó áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{SQ}}{{SB}} = \dfrac{{SP}}{{SC}} = x\,\,\,\left( {0 < x < 1} \right)\).

Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SD}}.\dfrac{{SP}}{{SC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.x = \dfrac{4}{9}x\) \( \Rightarrow {V_{S.MNP}} = \dfrac{2}{9}x{V_{S.ABCD}}\).

\(\dfrac{{{V_{S.MPQ}}}}{{{V_{S.ACB}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SP}}{{SC}}.\dfrac{{SQ}}{{SB}} = \dfrac{2}{3}.{x^2}\) \( \Rightarrow {V_{S.MPQ}} = \dfrac{1}{3}{x^2}{V_{S.ABCD}}\).

\( \Rightarrow {V_{S.MNPQ}} = \left( {\dfrac{2}{9}x + \dfrac{1}{3}{x^2}} \right){V_{S.ABCD}} \Rightarrow {V_1} = \left( {\dfrac{2}{9}x + \dfrac{1}{3}{x^2}} \right)V\).

Theo bài ra ta có \({V_1} = \dfrac{1}{2}V\) nên \(\dfrac{2}{9}x + \dfrac{1}{3}{x^2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 2 + \sqrt {58} }}{6}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.