Cho các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = 1\), tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

Câu hỏi số 467196:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = 1\), tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \sqrt {{{\left( {2y - 1} \right)}^2}{x^2} + {{\left( {2{y^2} - y} \right)}^2}} + \sqrt {2y + 2} \) bằng:

A. \(\sqrt 3 \)

B. \(\dfrac{{13\sqrt 2 }}{4}\)

C. \(3\sqrt 3 \)

D. \(\dfrac{{13\sqrt 3 }}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:467196

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có \({x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 - {y^2}\).

Thay vào biểu thức \(P\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \sqrt {{{\left( {2y - 1} \right)}^2}\left( {1 - {y^2}} \right) + {y^2}{{\left( {2y - 1} \right)}^2}} + \sqrt {2y + 2} \\P = \sqrt {{{\left( {2y - 1} \right)}^2}} + \sqrt {2y + 2} \\P = \sqrt {{{\left( {2y - 1} \right)}^2}} + \sqrt {2y - 1 + 3} \end{array}\)

Đặt \(t = 2y - 1\) ta có \(P = \sqrt {{t^2}} + \sqrt {t + 3} = f\left( t \right)\,\,\left( {t \ge - 3} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \dfrac{t}{{\sqrt {{t^2}} }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {t + 3} }} = \dfrac{{2t\sqrt {t + 3} + \sqrt {{t^2}} }}{{2\sqrt {{t^2}} \sqrt {t + 3} }}\\f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 2t\sqrt {t + 3} + \sqrt {{t^2}} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t\sqrt {t + 3} + t = 0\,\,\,\,khi\,\,t \ge 0\\2t\sqrt {t + 3} - t = 0\,\,\,\,khi\,\, - 3 \le t < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}t = 0\\2\sqrt {t + 3} + 1 = 0\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\\2\sqrt {t + 3} = 1\,\,\,\,khi\,\, - 3 \le t < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\4\left( {t + 3} \right) = 1\,\,\,\,khi\,\, - 3 \le t < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = - \dfrac{{11}}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có \(f\left( { - 3} \right) = 3,\,\,f\left( 0 \right) = \sqrt 3 ,\,\,f\left( { - \dfrac{{11}}{4}} \right) = \dfrac{{13}}{4}\).

\( \Rightarrow \min P = \sqrt 3 ,\,\,\max P = \dfrac{{13}}{4}\).

Vậy \(\min P.\max P = \dfrac{{13\sqrt 3 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.