Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị

Câu hỏi số 467197:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Hỏi phương trình \(f\left( {\dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{2}} \right) - \dfrac{1}{3}{\cos ^6}x - \dfrac{1}{4}{\sin ^2}2x +\) \( \dfrac{7}{{24}} - f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{4};2\pi } \right)\)?

A. \(2\)

B. \(6\)

C. \(4\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:467197

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,f\left( {\dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{2}} \right) - \dfrac{1}{3}{\cos ^6}x - \dfrac{1}{4}{\sin ^2}2x + \dfrac{7}{{24}} - f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow f\left( {{{\cos }^2}x} \right) - \dfrac{1}{3}{\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3} - {\sin ^2}x{\cos ^2}x + \dfrac{7}{{24}} - f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow f\left( {{{\cos }^2}x} \right) - \dfrac{1}{3}{\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3} - \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right){\cos ^2}x + \dfrac{7}{{24}} - f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow f\left( {{{\cos }^2}x} \right) - \dfrac{1}{3}{\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3} + {\cos ^4}x - {\cos ^2}x + \dfrac{7}{{24}} - f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(t = {\cos ^2}x\), với \(x \in \left( {\dfrac{\pi }{4};2\pi } \right) \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right]\). Khi đó phương trình (*) trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,f\left( t \right) - \dfrac{1}{3}{t^3} + {t^2} - t + \dfrac{7}{{24}} - f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow f\left( t \right) - \dfrac{1}{3}{t^3} + {t^2} - t = f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) - \dfrac{7}{{24}}\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)

Đặt \(g\left( t \right) = f\left( t \right) - \dfrac{1}{3}{t^3} + {t^2} - t\) ta có \(g'\left( t \right) = f'\left( t \right) - {t^2} + 2t - 1\), với \(t \in \left[ {0;1} \right]\).

Cho \(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = {t^2} - 2t + 1 = {\left( {t - 1} \right)^2}\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và đồ thị hàm số \(y = {\left( {t - 1} \right)^2}\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(g'\left( t \right) \ge 0\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\), do đó hàm số \(y = g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\).

Do đó phương trình (**) có nhiều nhất 1 nghiệm trên \(\left[ {0;1} \right]\).

Nhận thấy \(g\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) - \dfrac{7}{{24}}\), do đó \(t = \dfrac{1}{2}\) là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Với \(t = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do đó các nghiệm thuộc \(\left( {\dfrac{\pi }{4};2\pi } \right)\) của phương trình ban đầu là \(x \in \left\{ {\dfrac{{3\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{7\pi }}{4}} \right\}\).

Vậy phương trình ban đầu có 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.