Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\). Biết \(AC = 4\sqrt 3 a,\,\,BD = 4a\), \(SD =
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\). Biết \(AC = 4\sqrt 3 a,\,\,BD = 4a\), \(SD = 2\sqrt 2 a\)và \(SO\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SD\) bằng:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Chứng minh \(d\left( {AB;SD} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)\).
- Trong \(\left( {ABCD} \right)\) dựng \(OH \bot CD\,\,\left( {H \in CD} \right)\) trong \(\left( {SOH} \right)\) dựng \(OK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\), chứng minh \(d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right) = OK\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(OH,\,\,DH\).
- Sử dụng định lí Pytago tính \(SH,\,\,SO\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(OK\).
Ta có \(AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \supset SD\), khi đó ta có \(d\left( {AB;SD} \right) = d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).
Mà \(AO \cap \left( {SCD} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{AC}}{{OC}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) dựng \(OH \bot CD\,\,\left( {H \in CD} \right)\) trong \(\left( {SOH} \right)\) dựng \(OK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OH\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow CD \bot OK\\\left\{ \begin{array}{l}OK \bot CD\\OK \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow OK \bot \left( {SCD} \right)\\ \Rightarrow d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right) = OK\end{array}\)
Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\) tại \(O\) và \(OC = 2\sqrt 3 a,\,\,OD = 2a\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OCD\) ta có: \(OH = \dfrac{{OC.OD}}{{\sqrt {O{C^2} + O{D^2}} }} = \dfrac{{2\sqrt 3 a.2a}}{{\sqrt {12{a^2} + 4{a^2}} }} = a\sqrt 3 \), \(DH = \dfrac{{O{D^2}}}{{CD}} = \dfrac{{O{D^2}}}{{\sqrt {O{C^2} + O{D^2}} }} = \dfrac{{4{a^2}}}{{\sqrt {12{a^2} + 4{a^2}} }} = a\).
Ta có \(CD \bot \left( {SOH} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow CD \bot SH\) \( \Rightarrow \Delta SHD\) vuông tại \(H\).
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(SH = \sqrt {S{D^2} - D{H^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 a} \right)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 7 \).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SOH\) ta có \(SO = \sqrt {S{H^2} - O{H^2}} = \sqrt {7{a^2} - 3{a^2}} = 2a\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOH\) ta có: \(OK = \dfrac{{SO.OH}}{{SH}} = \dfrac{{2a.a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 7 }} = \dfrac{{2a\sqrt {21} }}{7}\).
Vậy \(d\left( {AB;SD} \right) = 2OK = \dfrac{{4a\sqrt {21} }}{7}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
