Có bao nhiêu giá trị \(m\) để đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + m{x^2} - 2m\) cắt trục \(Ox\)

Câu hỏi số 467199:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị \(m\) để đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + m{x^2} - 2m\) cắt trục \(Ox\) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:467199

Phương pháp giải

- Sử dụng tính chất của cấp số cộng: Nếu ba số \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì \({x_1} + {x_3} = 2{x_2}\).

- Sử dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\): \({x_1} + {x_2} + {x_3} = - \dfrac{b}{a}\).

- Giải phương trình tìm \(m\), với từng giá trị \(m\) thử lại và xác định phương trình có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn hay không.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \( - {x^3} + m{x^2} - 2m = 0\) (*).

Giả sử phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng là \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\), khi đó ta có \({x_1} + {x_3} = 2{x_2}\).

Theo định lí Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} + {x_3} = - \dfrac{m}{{ - 1}} = m\) \( \Rightarrow 3{x_2} = m \Leftrightarrow {x_2} = \dfrac{m}{3}\).

Vì \({x_2}\) là nghiệm của (*) nên \( - \dfrac{{{m^3}}}{{27}} + m.\dfrac{{{m^2}}}{9} - 2m = 0 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{27}}{m^3} - 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \pm 3\sqrt 3 \end{array} \right.\).

Thử lại:

+ Với \(m = 0\) ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow - {x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (không thỏa mãn)

+ Với \(m = 3\sqrt 3 \) ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow - {x^3} + 3\sqrt 3 {x^2} - 6\sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3 + \sqrt 3 \\x = \sqrt 3 \\x = 3 + \sqrt 3 \end{array} \right.\) (thỏa mãn).

+ Với \(m = - 3\sqrt 3 \) ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow - {x^3} - 3\sqrt 3 {x^2} + 6\sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3 - \sqrt 3 \\x = - \sqrt 3 \\x = 3 - \sqrt 3 \end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m = \pm 3\sqrt 3 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.