Cho mặt cầu đường kính \(AB = 2R\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(AB\) tại \(I\) (\(I\) thuộc đoạn \(AB\)), cắt mặt cầu theo đường tròn \(\left( C \right)\). Tính \(h = AI\) theo \(R\) để hình nón có đỉnh \(A\), đáy là hình tròn \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất.

Câu 467201: Cho mặt cầu đường kính \(AB = 2R\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(AB\) tại \(I\) (\(I\) thuộc đoạn \(AB\)), cắt mặt cầu theo đường tròn \(\left( C \right)\). Tính \(h = AI\) theo \(R\) để hình nón có đỉnh \(A\), đáy là hình tròn \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất.

A. \(h = \dfrac{R}{3}\)

B. \(h = R\)

C. \(h = \dfrac{{4R}}{3}\)

D. \(h = \dfrac{{2R}}{3}\)

Câu hỏi : 467201

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Giả sử mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu theo đường tròn có đường kính \(CD\). Khi đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\)

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(AC\) theo \(h,\,\,R\).

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính \(CI\) theo \(h,\,\,R\).

- Tính thể tích khối nón đỉnh \(A\), đáy là hình tròn \(\left( C \right)\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi C{I^2}.AI\) theo \(h,\,\,R\).

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của hàm số.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Giả sử mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu theo đường tròn có đường kính \(CD\) như hình vẽ.

Khi đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(A{C^2} = AI.AB = h.2R \Rightarrow AC = \sqrt {2Rh} \)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ACI\) ta có \(CI = \sqrt {A{C^2} - A{I^2}} = \sqrt {2Rh - {h^2}} \).

Khi đó thể tích khối nón đỉnh \(A\), đáy là hình tròn \(\left( C \right)\) là:

\(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .\left( {2Rh - {h^2}} \right)h = \dfrac{1}{3}\pi \left( { - {h^3} + 2R{h^2}} \right)\).

Để \({V_{\max }}\) thì \(f\left( h \right) = - {h^3} + 2R{h^2}\) đạt GTLN, với \(0 \le h \le 2R\).

Ta có \(f'\left( h \right) = - 3{h^2} + 4Rh = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 0\\h = \dfrac{{4R}}{3}\end{array} \right.\).

Ta có \(f\left( 0 \right) = 0,\,\,f\left( {2R} \right) = 0,\,\,f\left( {\dfrac{4}{3}R} \right) = \dfrac{{32}}{{27}}{R^3}\).

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2R} \right]} f\left( h \right) = f\left( {\dfrac{{4R}}{3}} \right) = \dfrac{{32}}{{27}}{R^3}\).

Vậy \({V_{\max }} \Leftrightarrow h = \dfrac{{4R}}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.