Cho mặt cầu đường kính \(AB = 2R\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(AB\) tại \(I\)

Câu hỏi số 467201:

Vận dụng cao

Cho mặt cầu đường kính \(AB = 2R\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(AB\) tại \(I\) (\(I\) thuộc đoạn \(AB\)), cắt mặt cầu theo đường tròn \(\left( C \right)\). Tính \(h = AI\) theo \(R\) để hình nón có đỉnh \(A\), đáy là hình tròn \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất.

A. \(h = \dfrac{R}{3}\)

B. \(h = R\)

C. \(h = \dfrac{{4R}}{3}\)

D. \(h = \dfrac{{2R}}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:467201

Phương pháp giải

- Giả sử mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu theo đường tròn có đường kính \(CD\). Khi đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\)

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(AC\) theo \(h,\,\,R\).

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính \(CI\) theo \(h,\,\,R\).

- Tính thể tích khối nón đỉnh \(A\), đáy là hình tròn \(\left( C \right)\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi C{I^2}.AI\) theo \(h,\,\,R\).

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của hàm số.

Giải chi tiết

Giả sử mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu theo đường tròn có đường kính \(CD\) như hình vẽ.

Khi đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(A{C^2} = AI.AB = h.2R \Rightarrow AC = \sqrt {2Rh} \)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ACI\) ta có \(CI = \sqrt {A{C^2} - A{I^2}} = \sqrt {2Rh - {h^2}} \).

Khi đó thể tích khối nón đỉnh \(A\), đáy là hình tròn \(\left( C \right)\) là:

\(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .\left( {2Rh - {h^2}} \right)h = \dfrac{1}{3}\pi \left( { - {h^3} + 2R{h^2}} \right)\).

Để \({V_{\max }}\) thì \(f\left( h \right) = - {h^3} + 2R{h^2}\) đạt GTLN, với \(0 \le h \le 2R\).

Ta có \(f'\left( h \right) = - 3{h^2} + 4Rh = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 0\\h = \dfrac{{4R}}{3}\end{array} \right.\).

Ta có \(f\left( 0 \right) = 0,\,\,f\left( {2R} \right) = 0,\,\,f\left( {\dfrac{4}{3}R} \right) = \dfrac{{32}}{{27}}{R^3}\).

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2R} \right]} f\left( h \right) = f\left( {\dfrac{{4R}}{3}} \right) = \dfrac{{32}}{{27}}{R^3}\).

Vậy \({V_{\max }} \Leftrightarrow h = \dfrac{{4R}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.