Cho mặt cầu đường kính \(AB = 2R\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(AB\) tại \(I\)
Cho mặt cầu đường kính \(AB = 2R\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(AB\) tại \(I\) (\(I\) thuộc đoạn \(AB\)), cắt mặt cầu theo đường tròn \(\left( C \right)\). Tính \(h = AI\) theo \(R\) để hình nón có đỉnh \(A\), đáy là hình tròn \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Giả sử mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu theo đường tròn có đường kính \(CD\). Khi đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\)
- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(AC\) theo \(h,\,\,R\).
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính \(CI\) theo \(h,\,\,R\).
- Tính thể tích khối nón đỉnh \(A\), đáy là hình tròn \(\left( C \right)\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi C{I^2}.AI\) theo \(h,\,\,R\).
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của hàm số.
Giả sử mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu theo đường tròn có đường kính \(CD\) như hình vẽ.
Khi đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(A{C^2} = AI.AB = h.2R \Rightarrow AC = \sqrt {2Rh} \)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ACI\) ta có \(CI = \sqrt {A{C^2} - A{I^2}} = \sqrt {2Rh - {h^2}} \).
Khi đó thể tích khối nón đỉnh \(A\), đáy là hình tròn \(\left( C \right)\) là:
\(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .\left( {2Rh - {h^2}} \right)h = \dfrac{1}{3}\pi \left( { - {h^3} + 2R{h^2}} \right)\).
Để \({V_{\max }}\) thì \(f\left( h \right) = - {h^3} + 2R{h^2}\) đạt GTLN, với \(0 \le h \le 2R\).
Ta có \(f'\left( h \right) = - 3{h^2} + 4Rh = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 0\\h = \dfrac{{4R}}{3}\end{array} \right.\).
Ta có \(f\left( 0 \right) = 0,\,\,f\left( {2R} \right) = 0,\,\,f\left( {\dfrac{4}{3}R} \right) = \dfrac{{32}}{{27}}{R^3}\).
\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2R} \right]} f\left( h \right) = f\left( {\dfrac{{4R}}{3}} \right) = \dfrac{{32}}{{27}}{R^3}\).
Vậy \({V_{\max }} \Leftrightarrow h = \dfrac{{4R}}{3}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
