Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và có thể tích \(V\). Gọi \(M\)là điểm
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và có thể tích \(V\). Gọi \(M\)là điểm cạnh \(SC\) sao cho \(\dfrac{{SM}}{{SC}} = \dfrac{1}{3}\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(AM\) và cắt hai cạnh \(SB,\,\,SD\) lần lượt tại \(P\) và \(Q\). Gọi \(V'\) là thể tích khối chóp \(S.APMQ\); \(\dfrac{{SP}}{{SB}} = x;\,\,\dfrac{{SQ}}{{SD}} = y,\left( {0 < x;\,\,y < 1} \right)\). Khi tỉ số \(\dfrac{{V'}}{V}\) đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị tổng \(x + 3y\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Gọi \(O = AC \cap BD,\,\,E = SO \cap AM\).
Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.AMP}}}}{{{V_{S.ACB}}}} = \dfrac{{SM}}{{SC}}.\dfrac{{SP}}{{SB}} = \dfrac{x}{3}\) \( \Rightarrow {V_{S.AMP}} = \dfrac{x}{6}{V_{S.ABCD}}\).
\(\dfrac{{{V_{S.AMQ}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SM}}{{SC}}.\dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{y}{3}\) \( \Rightarrow {V_{S.AMQ}} = \dfrac{y}{6}{V_{S.ABCD}}\).
\( \Rightarrow {V_{S.APMQ}} = {V_{S.AMP}} + {V_{S.AMQ}} = \dfrac{1}{6}\left( {x + y} \right){V_{S.ABCD}}\).
Tương tự ta có:
\(\dfrac{{{V_{S.APQ}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \dfrac{{SP}}{{SB}}.\dfrac{{SQ}}{{SD}} = xy\) \( \Rightarrow {V_{S.APQ}} = \dfrac{{xy}}{2}{V_{S.ABCD}}\).
\(\dfrac{{{V_{S.MPQ}}}}{{{V_{S.CBD}}}} = \dfrac{{SM}}{{SC}}.\dfrac{{SP}}{{SB}}.\dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{{xy}}{3}\) \( \Rightarrow {V_{S.AMQ}} = \dfrac{{xy}}{6}{V_{S.ABCD}}\).
\( \Rightarrow {V_{S.APMQ}} = {V_{S.APQ}} + {V_{S.MPQ}} = \dfrac{{2xy}}{3}{V_{S.ABCD}}\).
\( \Rightarrow \dfrac{1}{6}\left( {x + y} \right) = \dfrac{2}{3}xy \Leftrightarrow x + y = 4xy\) \( \Leftrightarrow y = \left( {4y - 1} \right)x \Leftrightarrow x = \dfrac{y}{{4y - 1}}\,\,\left( {y > \dfrac{1}{4}} \right)\).
Khi đó ta có: \(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{1}{9}.\dfrac{{{y^2}}}{{4y - 1}}\).
Xét hàm số \(f\left( y \right) = \dfrac{{{y^2}}}{{4y - 1}}\) với \(y \in \left( {\dfrac{1}{4};1} \right)\) ta có \(f'\left( y \right) = \dfrac{{2y\left( {4y - 1} \right) - 4{y^2}}}{{{{\left( {4y - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{4{y^2} - 2y}}{{{{\left( {4y - 1} \right)}^2}}}\)
Cho \(f'\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\y = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {\dfrac{1}{4};1} \right)} f\left( y \right) = f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{4}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{V}\) đạt GTNN khi \(y = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}\).
Vậy khi đó \(x + 3y = \dfrac{1}{2} + 3.\dfrac{1}{2} = 2\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
