Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và có thể tích \(V\). Gọi \(M\)là điểm
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và có thể tích \(V\). Gọi \(M\)là điểm cạnh \(SC\) sao cho \(\dfrac{{SM}}{{SC}} = \dfrac{1}{3}\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(AM\) và cắt hai cạnh \(SB,\,\,SD\) lần lượt tại \(P\) và \(Q\). Gọi \(V'\) là thể tích khối chóp \(S.APMQ\); \(\dfrac{{SP}}{{SB}} = x;\,\,\dfrac{{SQ}}{{SD}} = y,\left( {0 < x;\,\,y < 1} \right)\). Khi tỉ số \(\dfrac{{V'}}{V}\) đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị tổng \(x + 3y\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Gọi \(O = AC \cap BD,\,\,E = SO \cap AM\).
Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.AMP}}}}{{{V_{S.ACB}}}} = \dfrac{{SM}}{{SC}}.\dfrac{{SP}}{{SB}} = \dfrac{x}{3}\) \( \Rightarrow {V_{S.AMP}} = \dfrac{x}{6}{V_{S.ABCD}}\).
\(\dfrac{{{V_{S.AMQ}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SM}}{{SC}}.\dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{y}{3}\) \( \Rightarrow {V_{S.AMQ}} = \dfrac{y}{6}{V_{S.ABCD}}\).
\( \Rightarrow {V_{S.APMQ}} = {V_{S.AMP}} + {V_{S.AMQ}} = \dfrac{1}{6}\left( {x + y} \right){V_{S.ABCD}}\).
Tương tự ta có:
\(\dfrac{{{V_{S.APQ}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \dfrac{{SP}}{{SB}}.\dfrac{{SQ}}{{SD}} = xy\) \( \Rightarrow {V_{S.APQ}} = \dfrac{{xy}}{2}{V_{S.ABCD}}\).
\(\dfrac{{{V_{S.MPQ}}}}{{{V_{S.CBD}}}} = \dfrac{{SM}}{{SC}}.\dfrac{{SP}}{{SB}}.\dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{{xy}}{3}\) \( \Rightarrow {V_{S.AMQ}} = \dfrac{{xy}}{6}{V_{S.ABCD}}\).
\( \Rightarrow {V_{S.APMQ}} = {V_{S.APQ}} + {V_{S.MPQ}} = \dfrac{{2xy}}{3}{V_{S.ABCD}}\).
\( \Rightarrow \dfrac{1}{6}\left( {x + y} \right) = \dfrac{2}{3}xy \Leftrightarrow x + y = 4xy\) \( \Leftrightarrow y = \left( {4y - 1} \right)x \Leftrightarrow x = \dfrac{y}{{4y - 1}}\,\,\left( {y > \dfrac{1}{4}} \right)\).
Khi đó ta có: \(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{1}{9}.\dfrac{{{y^2}}}{{4y - 1}}\).
Xét hàm số \(f\left( y \right) = \dfrac{{{y^2}}}{{4y - 1}}\) với \(y \in \left( {\dfrac{1}{4};1} \right)\) ta có \(f'\left( y \right) = \dfrac{{2y\left( {4y - 1} \right) - 4{y^2}}}{{{{\left( {4y - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{4{y^2} - 2y}}{{{{\left( {4y - 1} \right)}^2}}}\)
Cho \(f'\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\y = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {\dfrac{1}{4};1} \right)} f\left( y \right) = f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{4}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{V}\) đạt GTNN khi \(y = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}\).
Vậy khi đó \(x + 3y = \dfrac{1}{2} + 3.\dfrac{1}{2} = 2\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
