Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(\log _3^2x + \sqrt {\log _3^2x +

Câu hỏi số 469415:

Thông hiểu

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(\log _3^2x + \sqrt {\log _3^2x + 1} - 2m - 1 = 0\) có ít nhất một nghiệm thực thuộc đoạn \(\left[ {1;{3^{\sqrt 3 }}} \right]\).

A. \(m \in \left( {0;2} \right)\)

B. \(m \in \left[ {0;2} \right]\)

C. \(m \in \left[ {0;2} \right)\)

D. \(m \in \left( {0;2} \right]\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469415

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(\sqrt {\log _3^2x + 1} = t,\,\,t \in \left[ {1;2} \right]\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(m = f\left( t \right)\) có nghiệm \(t \in \left[ {1;2} \right]\). Khi đó \(m \in \left[ {\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right);\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right)} \right]\).

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right);\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right)\).

Giải chi tiết

Đặt \(\sqrt {\log _3^2x + 1} = t\). Với \(x \in \left[ {1;{3^{\sqrt 3 }}} \right] \Rightarrow {\log _3}x \in \left[ {0;\sqrt 3 } \right] \Rightarrow t \in \left[ {1;2} \right]\).

Khi đó bài toán trở thành:

Tìm \(m\) để phương trình \({t^2} + t - 2m - 2 = 0\) \( \Rightarrow {t^2} + t - 2 = 2m\) (*) có nghiệm \(t \in \left[ {1;2} \right]\).

Xét \(f\left( t \right) = {t^2} + t - 2\) với \(t \in \left[ {1;2} \right]\) ta có: \(f'\left( t \right) = 2t + 1 = 0 \Rightarrow t = - \dfrac{1}{2} \notin \left[ {1;2} \right]\).

Ta có \(f\left( 1 \right) = 0,\,\,f\left( 2 \right) = 4\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right) = 0;\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right) = 4\).

Vậy khi đó để phương trình (*) có nghiệm \(t \in \left[ {2;4} \right]\) thì \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right) \Leftrightarrow 0 \le 2m \le 4 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2\)

Vậy \(m \in \left[ {0;2} \right]\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.