Biết rằng \(\int {\left( {{{\cos }^3}x.\sin 3x + {{\sin }^3}x.\cos 3x} \right)dx} = \dfrac{a}{b}\cos 4x + C\)

Câu hỏi số 470077:

Thông hiểu

Biết rằng \(\int {\left( {{{\cos }^3}x.\sin 3x + {{\sin }^3}x.\cos 3x} \right)dx} = \dfrac{a}{b}\cos 4x + C\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}\), \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản \(\left( {a < 0,\,\,b > 0} \right)\), tính \(2a + b\).

A. \( - 13\)

B. \(13\)

C. \( - 10\)

D. \(10\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:470077

Phương pháp giải

- Sử dụng các công thức: \({\cos ^3}x = \dfrac{{3\cos x + \cos 3x}}{4},\,\,{\sin ^3}x = \dfrac{{3\sin x - \sin 3x}}{4}\), \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)

- Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {\sin kxdx} = - \dfrac{1}{k}\cos kx + C\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\int {\left( {{{\cos }^3}x.\sin 3x + {{\sin }^3}x.\cos 3x} \right)dx} \\ = \int {\left( {\dfrac{{3\cos x + \cos 3x}}{4}.\sin 3x + \dfrac{{3\sin x - \sin 3x}}{4}.\cos 3x} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{4}\int {\left( {3\sin 3x\cos x + \sin 3x\cos 3x + 3\sin x\cos 3x - \sin 3x\cos 3x} \right)dx} \\ = \dfrac{3}{4}\int {\sin 4xdx} = - \dfrac{3}{{16}}\cos 4x + C\end{array}\)

\( \Rightarrow a = - 3,\,\,b = 16\). Vậy \(2a + b = 2.\left( { - 3} \right) + 16 = 10\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.