Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {a;0;0} \right),\) \(B\left( {0;b;0}

Câu hỏi số 472408:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {a;0;0} \right),\) \(B\left( {0;b;0} \right),\) \(C\left( {0;0;c} \right)\) với \(a,\,\,b,\,\,c > 0\). Biết mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(M\left( {\dfrac{1}{7};\dfrac{2}{7};\dfrac{3}{7}} \right)\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \dfrac{{72}}{7}\). Tính \(\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}\)

A. 14

B. 7

C. \(\dfrac{1}{7}\)

D. \(\dfrac{7}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:472408

Phương pháp giải

- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) dạng mặt chắn.

- Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

- Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(S\left( {I;R} \right)\) khi và chỉ khi \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\).

- Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là:

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có dạng \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

Vì \(M\left( {\dfrac{1}{7};\dfrac{2}{7};\dfrac{3}{7}} \right) \in \left( {ABC} \right)\) nên ta có \(\dfrac{1}{{7a}} + \dfrac{2}{{7b}} + \dfrac{3}{{7c}} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 7\).

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \dfrac{{72}}{7}\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {\dfrac{{72}}{7}} \).

Vì \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) nên \(d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right) = R\).

\( \Rightarrow \dfrac{{\left| {\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} }} = \sqrt {\dfrac{{72}}{7}} \Leftrightarrow \dfrac{6}{{\sqrt {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} }} = \sqrt {\dfrac{{72}}{7}} \Rightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}} = \dfrac{7}{2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.