Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x5 + y5 + z5.

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 47284:

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x² + y² + z² = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x⁵ + y⁵+ z⁵.

A. $\frac{5\sqrt{6}}{36}$

B. $\frac{5\sqrt{2}}{36}$

C. $\frac{5\sqrt{3}}{36}$

D. $\frac{5\sqrt{5}}{36}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:47284

Giải chi tiết

Ta có: 0 = (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2x(y + z) + 2yz = 1 – 2x² + 2yz

=> yz = x² – $\frac{1}{2}$

Mặt khác theo Côsi:

yz ≤ $\frac{y^{2}+z^{2}}{2}$ = $\frac{1-x^{2}}{2}$ => x² - $\frac{1}{2}$ ≤ $\frac{1-x^{2}}{2}$

=> - $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ≤ x ≤ $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Khi đó P = x⁵ + (y² + z²)(y³ + z³) - y²z²(y + z)… = … $\frac{5}{4}$ (2x³ – x)

Xét hàm số f(x) = $\frac{5}{4}$ (2x³ – x) trên [ - $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ; $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ]

f’(x) = 6x² – 1, f’(x) = 0 <=> x = ± $\frac{\sqrt{6}}{6}$

Ta có f(- $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ) = f( $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ) = - $\frac{\sqrt{6}}{9}$ , f( $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ) = f( $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ) = $\frac{\sqrt{6}}{9}$

Do đó f(x) ≤ $\frac{\sqrt{6}}{9}$

Suy ra minP = $\frac{5\sqrt{6}}{36}$ <=> x = $\frac{\sqrt{6}}{3}$ , y = z = - $\frac{\sqrt{6}}{6}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.