Tìm đạo hàm cấp \(n\) của các hàm số sau: a. \(y = \dfrac{1}{{{x^2} - 9}}\) b. \(y = \dfrac{{3x - 5}}{{x +

Câu hỏi số 473861:

Vận dụng

Tìm đạo hàm cấp \(n\) của các hàm số sau:

a. \(y = \dfrac{1}{{{x^2} - 9}}\)

b. \(y = \dfrac{{3x - 5}}{{x + 1}}\)

c. \(y = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\)

d. \(y = \dfrac{{x + 5}}{{{x^2} - 5x + 4}}\)

Giải chi tiết

a) \(y = \dfrac{1}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{1}{6}\left( {\dfrac{1}{{x - 3}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)\)

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{1}{6}\left[ { - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]\\y'' = \dfrac{1}{6}\left[ {\dfrac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^4}}} - \dfrac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^4}}}} \right] = \dfrac{1}{6}.2\left[ {\dfrac{1}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}} \right]\\y''' = \dfrac{1}{6}.2.\left[ { - \dfrac{{3{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^6}}} + \dfrac{{3{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^6}}}} \right] = \dfrac{1}{6}.2.3.\left[ { - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 3} \right)}^4}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^4}}}} \right]\\...\\CTTQ:\,\,{y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!}}{6}\left[ {\dfrac{1}{{{{\left( {x - 3} \right)}^{n + 1}}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^{n + 1}}}}} \right]\end{array}\)

b) \(y = \dfrac{{3x - 5}}{{x + 1}}\)

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{8}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y'' = - \dfrac{{8.2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = - \dfrac{{8.2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\\y''' = \dfrac{{8.2.3{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^6}}} = \dfrac{{8.2.3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}\\...\\{y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{8.{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}n!}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{n + 1}}}}\end{array}\)

c) \(y = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \dfrac{1}{{x + 1}}\)

\(\begin{array}{l}y' = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y'' = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\\y''' = \dfrac{{ - 2.3{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^6}}} = \dfrac{{ - 2.3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}\\...\\CTTQ:\,\,{y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{n + 1}}}}\end{array}\)

d) \(y = \dfrac{{x + 5}}{{{x^2} - 5x + 4}} = \dfrac{{ - 2}}{{x - 1}} + \dfrac{3}{{x - 4}}\)

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \dfrac{3}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}\\y'' = \dfrac{{ - 2.2\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} + \dfrac{{3.2\left( {x - 4} \right)}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^4}}} = \dfrac{{ - 2.2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} + \dfrac{{3.2}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^3}}}\\y''' = \dfrac{{2.2.3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} - \dfrac{{3.2.3}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^4}}}\\...\\CTTQ:\,\,{y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{2.{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}.n!}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{n + 1}}}} + \dfrac{{3.{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^{n + 1}}}}\end{array}\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:473861

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.