Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left| {2z - i} \right| = \left| {2 +

Câu hỏi số 476279:

Vận dụng

Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right|\), biết \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1\). Giá trị của biểu thức \(P = \left| {{z_1} + {z_2}} \right|\) bằng:

A. \(\sqrt 2 \)

B. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

C. \(\sqrt 3 \)

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476279

Phương pháp giải

- Đặt \(z = x + yi\), khai triển \(\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right|\) tìm mối quan hệ giữa \(x,\,\,y\).

- Chứng minh \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\), từ đó tìm \(P = \left| {{z_1} + {z_2}} \right|\).

Giải chi tiết

Đặt \(z = x + yi\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2x + 2yi - i} \right| = \left| {2 + i\left( {x + yi} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2x + \left( {2y - 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {2 - y} \right) + xi} \right|\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} = {\left( {2 - y} \right)^2} + {x^2}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} = 3\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\end{array}\)

Đặtk \({z_1} = {x_1} + {y_1}i,\,\,{z_2} = {x_2} + {y_2}i\), xét

\(\begin{array}{l}A = {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2}\\\,\,\,\,\, = {\left| {\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{y_1} + {y_2}} \right)i} \right|^2} + {\left| {\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + \left( {{y_1} - {y_2}} \right)i} \right|^2}\\\,\,\,\,\, = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} + {y_2}} \right)^2} + {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_2}} \right)^2}\\\,\,\,\,\, = 2\left( {x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2} \right)\end{array}\)

Vì \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right|\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 + y_1^2 = 1\\x_2^2 + y_2^2 = 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = 2\left( {1 + 1} \right) = 4\\ \Rightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 4\\ \Rightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = 4 - {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 3\\ \Rightarrow P = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 3 \end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.