Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) =

Câu hỏi số 476282:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 3\) và \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 2x + 2\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Tích phân \(\int\limits_0^2 {xf'\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \( - \dfrac{{10}}{3}\)

B. \( - \dfrac{5}{3}\)

C. \( - \dfrac{{11}}{3}\)

D. \( - \dfrac{7}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476282

Phương pháp giải

- Áp dụng tích phân từng phần với \(\int\limits_0^2 {xf'\left( x \right)dx} \).

- Từ giả thiết \(f\left( 0 \right) = 3\), \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 2x + 2\) tính \(f\left( 2 \right)\).

- Lấy tích phân hai vế biểu thức \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 2x + 2\).

- Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính \(J = \int\limits_0^2 {f\left( {2 - x} \right)dx} \), từ đó tính \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) và tính \(I\).

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {xf'\left( x \right)dx} = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).

Theo bài ra ta có: \(f\left( 0 \right) = 3\), \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 2x + 2\).

\( \Rightarrow f\left( 0 \right) + f\left( 2 \right) = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = 2 - f\left( 0 \right) = 2 - 3 = - 1\).

\( \Rightarrow I = 2f\left( 2 \right) - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = - 2 - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).

Lấy tích phân hai vế biểu thức \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 2x + 2\) ta có:

\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( {2 - x} \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)dx} = \dfrac{8}{3}\).

Xét \(J = \int\limits_0^2 {f\left( {2 - x} \right)dx} \), đặt \(t = 2 - x \Rightarrow dt = - dx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2\\x = 2 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow J = - \int\limits_2^0 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).

\( \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{8}{3} \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{4}{3}\).

Vậy \( \Rightarrow I = - 2 - \dfrac{4}{3} = - \dfrac{{10}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.