Cho hình vuông \(ABCD\) có các đỉnh \(A,\,\,B,\,\,C\) tương ứng nằm trên đồ thị của các hàm số

Câu hỏi số 476283:

Vận dụng cao

Cho hình vuông \(ABCD\) có các đỉnh \(A,\,\,B,\,\,C\) tương ứng nằm trên đồ thị của các hàm số \(y = {\log _a}x\), \(y = 2{\log _a}x\) và \(y = 3{\log _a}x\). Biết rằng diện tích hình vuông bằng \(36\), cạnh \(AB\) song song với trục hoành. Khi đó \(a\) bằng:

A. \(\sqrt 6 \)

B. \(\sqrt[6]{3}\)

C. \(\sqrt[3]{6}\)

D. \(\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476283

Phương pháp giải

- Gọi \(A\left( {m;{{\log }_a}m} \right),\,\,B\left( {n;\,\,2{{\log }_a}n} \right),\,\,C\left( {p;3{{\log }_a}p} \right)\) \(\left( {m,n,p > 0} \right)\).

- Tính \(\overrightarrow {AB} \), sử dụng điều kiện cạnh \(AB\) song song với trục hoành tìm \(m\) theo \(n\).

- Tính \(AB\), giải phương trình tìm \(m,\,\,n\).

- Tính \(\overrightarrow {BC} \), sử dụng điều kiện \(BC \bot AB\) tìm \(p\).

- Giải phương trình độ dài cạnh \(BC\) tìm \(a\).

Giải chi tiết

Gọi \(A\left( {m;{{\log }_a}m} \right),\,\,B\left( {n;\,\,2{{\log }_a}n} \right),\,\,C\left( {p;3{{\log }_a}p} \right)\) \(\left( {m,n,p > 0} \right)\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {n - m;\,\,2{{\log }_a}n - {{\log }_a}m} \right) = \left( {n - m;\,\,{{\log }_a}\dfrac{{{n^2}}}{m}} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow i \left( {1;0} \right)\) cùng phương nên \({\log _a}\dfrac{{{n^2}}}{m} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{n^2}}}{m} \Leftrightarrow {n^2} = m\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {n - {n^2};0} \right) \Rightarrow AB = \left| {n - {n^2}} \right|\).

Lại có \({S_{ABCD}} = 36 \Rightarrow A{B^2} = 36 \Leftrightarrow AB = 6\).

\( \Rightarrow \left| {n - {n^2}} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{n^2} - n = 6\\{n^2} - n = - 6\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 3\\n = - 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow m = 9\).

Tương tự ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {p - n;{{\log }_a}\dfrac{{{p^3}}}{{{n^2}}}} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow j = \left( {0;1} \right)\) nên \(p - n = 0 \Leftrightarrow p = n = 3\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( {0;{{\log }_a}\dfrac{{{3^3}}}{{{3^2}}}} \right) = \left( {0;{{\log }_a}3} \right)\) \( \Rightarrow BC = \left| {{{\log }_a}3} \right|\).

Mà \(BC = AB = 6 \Rightarrow \left| {{{\log }_a}3} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _a}3 = 6\\{\log _a}3 = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow a = \sqrt[6]{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.