Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(B\), \(\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\), \(AB =

Câu hỏi số 476284:

Vận dụng cao

Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(B\), \(\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\), \(AB = a,\,\,BC = 2a\). Biết rằng góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng đáy bằng \({60^0}\), thể tích khối chóp đã cho bằng:

A. \({a^3}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476284

Phương pháp giải

- Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( {ABC} \right)\), chứng minh \(ABCH\) là hình chữ nhật.

- Xác định góc giữa \(SB\) và mặt đáy là góc giữa \(SB\) và hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên mặt đáy, sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(SH\).

- Tính thể tích \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SC\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SCH} \right) \Rightarrow BC \bot CH\\\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SA\,\,\left( {gt} \right)\\AB \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow AB \bot AH\end{array}\)

\( \Rightarrow ABCH\) là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).

Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(HB\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;HB} \right) = \angle SBH = {60^0}\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 5 \), lại có \(ABCH\) là hình vuông nên \(BH = AC = a\sqrt 5 \)

Xét tam giác vuông \(SBH\) có \(SH = BH.\tan {30^0} = a\sqrt {15} \).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.\dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{6}.a\sqrt {15} .a.2a = \dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.