Có bao nhiêu số nguyên \(a\) thuộc đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\) sao cho hàm số \(y = - 2x + 2

Câu hỏi số 476285:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(a\) thuộc đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\) sao cho hàm số \(y = - 2x + 2 + a\sqrt {{x^2} - 4x + 5} \) có cực đại?

A. \(18\)

B. \(17\)

C. \(36\)

D. \(35\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476285

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y' = - 2 + a.\dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }}\),

\(\begin{array}{l}y'' = a.\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} - \left( {x - 2} \right).\dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }}}}{{{x^2} - 4x + 5}}\\y'' = a.\dfrac{{{x^2} - 4x + 5 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }} = \dfrac{1}{{\left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }}\end{array}\)

+ TH1: \(a = 0 \Rightarrow y = - 2x + 2\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số không có cực đại \( \Rightarrow a = 0\) không thỏa mãn.

+ TH2: \(a \ne 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0 \Rightarrow y' > 0\\a < 0 \Rightarrow y' < 0\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho có cực đại \( \Leftrightarrow a < 0\) và phương trình \(y' = 0\) có nghiệm.

Đặt \(t = x - 2\) ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow - 2 + a.\dfrac{t}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} = 0\) \( \Leftrightarrow at = 2\sqrt {{t^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \le 0\\{a^2}{t^2} = 4{t^2} + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \le 0\\\left( {{a^2} - 4} \right){t^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \le 0\\{t^2} = \dfrac{4}{{{a^2} - 4}}\,\,\left( {a \ne \pm 2} \right)\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\)

\( \Rightarrow \) Hệ phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{4}{{{a^2} - 4}} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 2\\a < - 2\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện \(a < 0\), \(a \in \left[ { - 20;20} \right]\) ta có \(a \in \left[ { - 20; - 2} \right)\),.

Mà \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \left\{ { - 20; - 19; - 18;...; - 3} \right\}\).

Vậy có 18 giá trị của \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.