Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(abc = 8.\) Chứng minh : \(\dfrac{a}{{ca + 4}} +

Câu hỏi số 476455:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(abc = 8.\) Chứng minh :

\(\dfrac{a}{{ca + 4}} + \dfrac{b}{{ab + 4}} + \dfrac{c}{{bc + 4}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476455

Phương pháp giải

Đổi biến đưa về bất đẳng thức đồng bậc. Sau đó sử dụng bổ đề:

\(3\left( {ab + bc + ca} \right) \le {\left( {a + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

Giải chi tiết

Vì \(a,b,c\)là các số thực dương thỏa mãn \(abc = 8\) nên tồn tại các số thực dương \(x,y,z\)sao cho \(a = \dfrac{{2x}}{y};b = \dfrac{{2y}}{z};c = \dfrac{{2z}}{x}\)

Bất đẳng thức trở thành \(\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{z^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{x^2}}} \ge \dfrac{{2x}}{{y + z}} + \dfrac{{2y}}{{z + x}} + \dfrac{{2z}}{{x + y}}\)

Sử dụng bổ đề: \(3\left( {ab + bc + ca} \right) \le {\left( {a + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\) ta có:

\(3\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{z^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{x^2}}}} \right) \ge {\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}} \right)^2}\), mà \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z}.\dfrac{z}{x}}} = 3\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{z^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{x^2}}} \ge \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}\,\,\left( 2 \right)\)

Lại sử dụng bổ đề đã nêu ta có:

\(\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{z^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{x^2}}} \ge \dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z} + \dfrac{y}{z}.\dfrac{z}{x} + \dfrac{z}{x}.\dfrac{x}{y} = \dfrac{x}{z} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{y}\left( 3 \right)\)

Từ (2) và (3) ta có:

\(2\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{z^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{x^2}}}} \right) \ge \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{y}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{y} = x\left( {\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) + y\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z}} \right) + z\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\\ \ge \dfrac{{4x}}{{y + z}} + \dfrac{{4y}}{{z + x}} + \dfrac{{4z}}{{x + y}}\end{array}\)

Suy ra \(\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{z^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{x^2}}} \ge \dfrac{{2x}}{{y + z}} + \dfrac{{2y}}{{z + x}} + \dfrac{{2z}}{{x + y}}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 2\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link