Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng \(a\), thể tích
Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng \(a\), thể tích \(V\) của khối chóp có thể tích nhỏ nhất là:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Giả sử ta có khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\). Xác định tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp \(S.ABCD\).
- Đặt \(SO = x > a\), tính \(SI,\,\,SH\) theo \(x,\,\,a\).
- Sử dụng \(\Delta SIH \sim \Delta SMO\,\,\left( {g.g} \right)\), tính \(OM\) theo \(x,\,\,a\), từ đó tính \({S_{ABCD}}\) theo \(x,\,\,a\).
- Tính \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\) theo \(x,\,\,a\).
- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN của \({V_{S.ABCD}}\).
Giả sử ta có khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\).
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\),
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC\). Trong \(\left( {SMN} \right)\) dựng tia phân giác của góc \(\angle SMN\) cắt \(SO\) tại \(I\) \( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp \(S.ABCD\).
Kẻ \(IH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có \(r = IH = IO = a\) là bán kính mặt cầu nội tiếp khối chóp \(S.ABCD\).
Đặt \(SO = x > a\) \( \Rightarrow SI = SI - IO = x - a\)
Áp dụng định lý Pytago ta có \(SH = \sqrt {S{I^2} - I{H^2}} = \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} - {a^2}} = \sqrt {{x^2} - 2ax} \).
Vì \(\Delta SIH \sim \Delta SMO\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{SO}} = \dfrac{{IH}}{{OM}} \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 2ax} }}{x} = \dfrac{a}{{OM}} \Rightarrow OM = \dfrac{{ax}}{{\sqrt {{x^2} - 2ax} }}\).
\( \Rightarrow AB = 2OM = \dfrac{{2ax}}{{\sqrt {{x^2} - 2ax} }}\) \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = A{B^2} = \dfrac{{4{a^2}{x^2}}}{{{x^2} - 2ax}}\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}x.\dfrac{{4{a^2}{x^2}}}{{{x^2} - 2ax}} = \dfrac{{4{a^2}}}{3}.\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 2ax}}\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 2ax}}\,\,\left( {x > a} \right)\) ta có
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2}.\left( {{x^2} - 2ax} \right) - {x^3}.\left( {2x - 2a} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 2ax} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{3{x^4} - 6a{x^3} - 2{x^4} + 2a{x^3}}}{{{{\left( {{x^2} - 2ax} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{{x^4} - 4a{x^3}}}{{{{\left( {{x^2} - 2ax} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3}\left( {x - 4a} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 4a\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {a; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {4a} \right) = \dfrac{{64{a^3}}}{{{{\left( {4a} \right)}^2} - 2a.4a}} = 8a\).
Vậy \(\min {V_{S.ABCD}} = \dfrac{{4{a^2}}}{3}.8a = \dfrac{{32{a^3}}}{3}\), đạt được khi \(SO = 4a\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
