Biết đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với

Câu hỏi số 477164:

Vận dụng cao

Biết đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ dương \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) đồng thời \(y''\left( 1 \right) = 0\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x_3} + \sqrt {{x_2}{x_3}} + \sqrt[3]{{{x_1}{x_2}{x_3}}}\) là:

A. \(5\)

B. \(3\)

C. \(4\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:477164

Giải chi tiết

Sưu tầm nhóm Toán VD – VDC.

Vì đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ dương \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) nên phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\) có 3 nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \dfrac{c}{a}\\{x_1}{x_2}{x_3} = \dfrac{d}{a}\end{array} \right.\).

Ta có: \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c,\,\,y'' = 6ax + 2b\).

Vì \(y''\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 6a + 2b = 0 \Leftrightarrow b = - 3a\) \( \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = \dfrac{{ - b}}{a} = - 3\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = {x_3} + \sqrt {{x_2}{x_3}} + \sqrt[3]{{{x_1}{x_2}{x_3}}}\\P = {x_3} + \dfrac{1}{2}\sqrt {4{x_2}{x_3}} + \dfrac{1}{4}\sqrt[3]{{16{x_1}.4{x_2}.{x_3}}}\\ \Rightarrow P \le {x_3} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{4{x_2} + {x_3}}}{2} + \dfrac{1}{4}.\dfrac{{16{x_1} + 4{x_2} + {x_3}}}{3}\\ \Rightarrow P \le {x_3} + \dfrac{{4{x_2} + {x_3}}}{4} + \dfrac{{16{x_1} + 4{x_2} + {x_3}}}{{12}}\\ \Rightarrow P \le \dfrac{{12{x_3} + 12{x_2} + 3{x_3} + 16{x_1} + 4{x_2} + {x_3}}}{{12}}\\ \Rightarrow P \le \dfrac{{16{x_1} + 16{x_2} + 16{x_3}}}{{12}} = \dfrac{4}{3}\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)\\ \Rightarrow P \le \dfrac{4}{3}.3 = 4\end{array}\)

Vậy \({P_{\min }} = 4\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.