Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R\). Hình nón \(\left( N \right)\) thay đổi có đỉnh và
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R\). Hình nón \(\left( N \right)\) thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\). Thể tích lớn nhất của khối nón \(\left( N \right)\) là:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Gọi \(h\) là chiều cao của hình nón, \(r\) là bán kính đường tròn đáy của hình nón. Sử dụng định lí Pytago biểu diễn \(r\) theo \(h,\,\,R\).
- Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của thể tích.
Gọi \(h\) là chiều cao của hình nón. Để thể tích khối nón là lớn nhất thì hiển nhiên \(h > R\).
Gọi \(r\) là bán kính đường tròn đáy của hình nón.
Ta có \(IH = SH - SI = h - R\).
Áp dụng định lí Pytago ta có \(r = \sqrt {{R^2} - {{\left( {h - R} \right)}^2}} = \sqrt {2hR - {h^2}} \).
\( \Rightarrow \) Thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi \left( {2hR - {h^2}} \right).h = \dfrac{\pi }{3}\left( {2R{h^2} - {h^3}} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( h \right) = - {h^3} + 2R{h^2}\) với \(h > R\) ta có \(f'\left( h \right) = - 3{h^2} + 4Rh = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\h = \dfrac{{4R}}{3}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {V_{max}} = \dfrac{\pi }{3}.f\left( {\dfrac{{4R}}{3}} \right) = \dfrac{\pi }{3}.\left( {2R.\dfrac{{16{R^2}}}{9} - \dfrac{{64{R^3}}}{{27}}} \right) = \dfrac{{32\pi {R^3}}}{{81}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
