Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R\). Hình nón \(\left( N \right)\) thay đổi có đỉnh và

Câu hỏi số 477166:

Vận dụng

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R\). Hình nón \(\left( N \right)\) thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\). Thể tích lớn nhất của khối nón \(\left( N \right)\) là:

A. \(\dfrac{{32{R^3}}}{{27}}\)

B. \(\dfrac{{32\pi {R^3}}}{{27}}\)

C. \(\dfrac{{32{R^3}}}{{81}}\)

D. \(\dfrac{{32\pi {R^3}}}{{81}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:477166

Phương pháp giải

- Gọi \(h\) là chiều cao của hình nón, \(r\) là bán kính đường tròn đáy của hình nón. Sử dụng định lí Pytago biểu diễn \(r\) theo \(h,\,\,R\).

- Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của thể tích.

Giải chi tiết

Gọi \(h\) là chiều cao của hình nón. Để thể tích khối nón là lớn nhất thì hiển nhiên \(h > R\).

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn đáy của hình nón.

Ta có \(IH = SH - SI = h - R\).

Áp dụng định lí Pytago ta có \(r = \sqrt {{R^2} - {{\left( {h - R} \right)}^2}} = \sqrt {2hR - {h^2}} \).

\( \Rightarrow \) Thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi \left( {2hR - {h^2}} \right).h = \dfrac{\pi }{3}\left( {2R{h^2} - {h^3}} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( h \right) = - {h^3} + 2R{h^2}\) với \(h > R\) ta có \(f'\left( h \right) = - 3{h^2} + 4Rh = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\h = \dfrac{{4R}}{3}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {V_{max}} = \dfrac{\pi }{3}.f\left( {\dfrac{{4R}}{3}} \right) = \dfrac{\pi }{3}.\left( {2R.\dfrac{{16{R^2}}}{9} - \dfrac{{64{R^3}}}{{27}}} \right) = \dfrac{{32\pi {R^3}}}{{81}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.