Cho các số thực \(a,\,\,b > 1\) và phương trình \({\log _a}\left( {ax} \right){\log _b}\left( {bx} \right)

Câu hỏi số 477168:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(a,\,\,b > 1\) và phương trình \({\log _a}\left( {ax} \right){\log _b}\left( {bx} \right) = 2021\) có hai nghiệm phân biệt \(m,\,\,n\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {4{a^2} + 25{b^2}} \right)\left( {100{m^2}{n^2} + 1} \right)\) bằng:

A. \(200\)

B. \(174\)

C. \(404\)

D. \(400\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:477168

Phương pháp giải

- Từ giả thiết \({\log _a}\left( {ax} \right){\log _b}\left( {bx} \right) = 2021\) đưa về phương trình bậc hai ẩn \(\ln x\).

- Sử dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai tìm tích \(abmn\).

- Tìm GTNN của biểu thức \(P\) nhờ BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _a}\left( {ax} \right){\log _b}\left( {bx} \right) = 2021\,\,\left( {x > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + {{\log }_a}x} \right)\left( {1 + {{\log }_b}x} \right) = 2021\\ \Leftrightarrow 1 + {\log _a}x.{\log _b}x + {\log _a}x + {\log _b}x = 2021\\ \Leftrightarrow {\log _a}x.{\log _b}x + {\log _a}x + {\log _b}x = 2020\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\ln x}}{{\ln a}}.\dfrac{{\ln x}}{{\ln b}} + \dfrac{{\ln x}}{{\ln a}} + \dfrac{{\ln x}}{{\ln b}} = 2020\\ \Leftrightarrow {\ln ^2}x + \left( {\ln a + \ln b} \right)\ln x - 2020\ln a.\ln b = 0\\ \Leftrightarrow {\ln ^2}x + \ln \left( {ab} \right)\ln x - 2020\ln a.\ln b = 0\end{array}\)

Đặt \(t = \ln x\), phương trình trở thành \({t^2} + \ln \left( {ab} \right).t - 2020\ln a.\ln b = 0\,\,\left( * \right)\)

Vì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt nên \(\Delta = {\ln ^2}\left( {ab} \right) + 8080\ln a.\ln b > 0\).

Phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt \(m,\,\,n\) nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \ln m\\{t_2} = \ln m\end{array} \right.\).

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có \(\ln m + \ln n = - \ln \left( {ab} \right) \Leftrightarrow mn = \dfrac{1}{{ab}} \Leftrightarrow mnab = 1\).

Do \(a,\,\,b > 1 \Rightarrow mn > 0\).

Xét \(P = \left( {4{a^2} + 25{b^2}} \right)\left( {100{m^2}{n^2} + 1} \right)\) ta có

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P \ge 2\sqrt {4{a^2}.25{b^2}} .2\sqrt {100{m^2}{n^2}.1} \\ \Rightarrow P \ge 2.10ab.20mn = 400abmn \ge 400\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 5b\\10mn = 1 = \dfrac{{10}}{{ab}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 5b\\ab = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 2\end{array} \right.\).

Vậy \({P_{\min }} = 400 \Leftrightarrow a = 5,\,\,b = 2\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.