Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) =

Câu hỏi số 477170:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right)g\left( x \right) + 2021\) trong đó \(g\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + 2021x + 2022\) đồng biến trên khoảng nào?

A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)

B. \(\left( { - 1;4} \right)\)

C. \(\left( { - 3;2} \right)\)

D. \(\left( {4; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:477170

Phương pháp giải

- Tính \(y'\).

- Từ \(f'\left( x \right)\) đề bài cho suy ra \(f'\left( {1 - x} \right)\).

- Giải phương trình \(y' = 0\).

- Lập BXD của \(y'\) và suy ra các khoảng đồng biến của hàm số.

Giải chi tiết

Xét hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + 2021x + 2022\) có \(y' = - f'\left( {1 - x} \right) + 2021\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow f'\left( {1 - x} \right) = 2021\).

Vì \(f'\left( x \right) = \left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right)g\left( x \right) + 2021\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( {1 - x} \right) = \left( {2 - 1 + x} \right)\left( {1 - x + 3} \right)g'\left( {1 - x} \right) + 2021\\ \Rightarrow f'\left( {1 - x} \right) = \left( {1 + x} \right)\left( {4 - x} \right)g\left( {1 - x} \right) + 2021\\ \Rightarrow f'\left( {1 - x} \right) = 2021\\ \Leftrightarrow \left( {1 + x} \right)\left( {4 - x} \right)g\left( {1 - x} \right) + 2021 = 2021\\ \Leftrightarrow \left( {1 + x} \right)\left( {4 - x} \right)g\left( {1 - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\,\,\left( {do\,\,g\left( {1 - x} \right) < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}} \right)\end{array}\)

Qua các nghiệm \(x = - 1,\,\,x = 4\) thì \(y'\) đổi dấu.

Với \(x = 0\) ta có

\(\begin{array}{l}y'\left( 0 \right) = - f'\left( 1 \right) + 2021\\y'\left( 0 \right) = - \left( {2 - 1} \right)\left( {1 + 3} \right)g\left( 1 \right) + 2021\\y'\left( 0 \right) = - 4g\left( 1 \right) + 2021 > 0\,\,\left( {do\,\,g\left( 1 \right) > 0} \right)\end{array}\)

Do đó ta có bảng xét dấu \(y'\) như sau:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - 1;4} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.