Trong không gian tọa độ \(Oxyz\) cho ba điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\), \(B\left( {2;3; - 1} \right)\),

Câu hỏi số 478825:

Vận dụng

Trong không gian tọa độ \(Oxyz\) cho ba điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\), \(B\left( {2;3; - 1} \right)\), \(C\left( {0;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z - 7 = 0\). Khi điểm \(M\) thay đổi trên mặt phẳng \(\left( P \right)\), hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(E = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\).

A. \(8\)

B. \(\dfrac{8}{3}\)

C. \(4\sqrt 3 \)

D. \(6\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:478825

Phương pháp giải

- Sử dụng: \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \).

- Khoảng cách từ điểm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là

\(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Giải chi tiết

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) ta có \(G\left( {1;2;1} \right)\).

Ta có: \(E = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right| = 3MG\).

Do đó \({E_{\min }} \Leftrightarrow M{G_{\min }} \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(\left( G \right)\) lên \(\left( P \right)\). Khi đó \(MG = d\left( {G;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 2.2 + 2.1 - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \dfrac{8}{3}\)

Vậy \({E_{\min }} = 3.\dfrac{8}{3} = 8\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.