Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 3} - {x^2}} \right) \le

Câu hỏi số 479019:

Vận dụng

Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 3} - {x^2}} \right) \le \sqrt {{x^2} + 3} - 2x\) là:

A. Vô số

B. \(2\)

C. \(1\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479019

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ.

- Nhân liên hợp biểu thức trong loga ở Vế trái, sử dụng công thức \({\log _a}\dfrac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,x,y > 0} \right)\).

- Xét hàm đặc trưng.

- Giải bất phương trình chứa căn: \(\sqrt A \ge B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B < 0\\\left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A \ge {B^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x\sqrt {{x^2} + 3} - {x^2} > 0 \Leftrightarrow x\left( {\sqrt {{x^2} + 3} - x} \right) > 0\).

Ta có \({x^2} + 3 > {x^2} \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 3} > \left| x \right| > x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 3} - x > 0\) \( \Rightarrow x > 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 3} - {x^2}} \right) \le \sqrt {{x^2} + 3} - 2x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x\dfrac{3}{{\sqrt {{x^2} + 3} + x}}} \right) \le \sqrt {{x^2} + 3} - 2x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{{3x}}{{\sqrt {{x^2} + 3} + x}} \le \sqrt {{x^2} + 3} - 2x\\ \Leftrightarrow {\log _2}3x - {\log _2}\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + x} \right) \le \sqrt {{x^2} + 3} + x - 3x\\ \Leftrightarrow {\log _2}3x + 3x \le {\log _2}\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + x} \right) + \sqrt {{x^2} + 3} + x\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó \(3x \le \sqrt {{x^2} + 3} + x \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3} \ge 2x\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 3 \ge 4{x^2}\,\,\left( {do\,\,x > 0} \right) \Leftrightarrow {x^2} \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\).

Kết hợp điều kiện \(x > 0 \Rightarrow 0 < x \le 1\).

Vậy bất phương trình đã cho có 3 nghiệm nguyên \(x = 1\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.