Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {3; - 4; - 5} \right)\) và các đường thẳng

Câu hỏi số 479020:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {3; - 4; - 5} \right)\) và các đường thẳng \({d_1}:\,\,\dfrac{{x + 4}}{{ - 5}} = \dfrac{{y - 4}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{3}\); \({d_2}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z + 5}}{{ - 2}}\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) và cắt \({d_1},\,\,{d_2}\) lần lượt tại \(A,\,\,B\). Diện tích tam giác \(OAB\) bằng

A. \(5\sqrt 3 \)

B. \(\dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}\)

C. \(3\sqrt 5 \)

D. \(\dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479020

Phương pháp giải

- Tham số hóa tọa độ điểm \(A,\,\,B\).

- Sử dụng điều kiện \(M,\,\,A,\,\,B\,\) thẳng hàng tìm tọa độ điểm \(A,\,\,B\).

- Sử dụng công thức \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right]} \right|\).

Giải chi tiết

Gọi \(A\left( { - 4 - 5a;\,\,4 + 2a;\,\,2 + 3a} \right) \in {d_1}\), \(B\left( {1 - b;\,\,2 + 3b;\,\, - 5 - 2b} \right) \in {d_2}\).

Vì \(M,\,\,A,\,\,B \in d\) nên chúng thẳng hàng \( \Rightarrow \overrightarrow {MA} ,\,\,\overrightarrow {MB} \) cùng phương.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} = \left( {5a + 7;\,\, - 2a - 8;\,\, - 3a - 7} \right)\\\overrightarrow {MB} = \left( {b + 2;\,\, - 3b - 6;\,\,2b} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{5a + 7}}{{b + 2}} = \dfrac{{ - 2a - 8}}{{ - 3b - 6}} = \dfrac{{ - 3a - 7}}{{2b}}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15ab + 30a + 21b + 42 = 2ab + 8b + 4a + 16\\10ab + 14b = - 3ab - 6a - 7b - 14\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13ab + 26a + 13b + 26 = 0\\13ab + 6a + 21b + 14 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}20a - 8b + 12 = 0\\ab + 2a + b + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a - 2b + 3 = 0\\ab + 2a + b + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{5a + 3}}{2}\\a.\dfrac{{5a + 3}}{2} + 2a + \dfrac{{5a + 3}}{2} + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{5a + 3}}{2}\\5{a^2} + 3a + 4a + 5a + 3 + 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{5a + 3}}{2}\\5{a^2} + 12a + 7 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1,\,\,b = - 1\\a = - \dfrac{7}{5},\,\,b = - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {1;2; - 1} \right),\,\,B\left( {2; - 1; - 3} \right)\\A\left( {3;\dfrac{6}{5}; - \dfrac{{11}}{5}} \right),\,\,B\left( {3; - 4; - 1} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(A\left( {1;2; - 1} \right),\,\,B\left( {2; - 1; - 3} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OA} \left( {1;2; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {OB} \left( {2; - 1; - 3} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}\sqrt {{3^2} + {6^2} + {0^2}} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}\)

TH2: \(A\left( {3;\dfrac{6}{5}; - \dfrac{{11}}{5}} \right),\,\,B\left( {3; - 4; - 1} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OA} \left( {3;\dfrac{6}{5}; - \dfrac{{11}}{5}} \right),\,\,\overrightarrow {OB} \left( {3; - 4; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{10}^2} + 3,{6^2} + 15,{6^2}} = \dfrac{{\sqrt {8908} }}{{10}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.