Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\dfrac{{{z^2}}}{{z - 2i}} = \left| {{z^2}} \right|\)?

Câu hỏi số 479021:

Vận dụng

A. \(4\)

B. \(3\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479021

Phương pháp giải

- Sử dụng: \(\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2} = z.\overline z \).

- Đưa phương trình về dạng tích.

- Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\), thế vào phương trình và sử dụng điều kiện hai số phức bằng nhau.

- Giải hệ phương trình đại số bằng phương pháp thế.

Giải chi tiết

ĐK: \(z \ne 2i\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{z^2}}}{{z - 2i}} = \left| {{z^2}} \right| \Leftrightarrow \dfrac{{{z^2}}}{{z - 2i}} = {\left| z \right|^2} = z.\overline z \\ \Leftrightarrow z\left( {\dfrac{z}{{z - 2i}} - \overline z } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\\dfrac{z}{{z - 2i}} - \overline z = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\), thay vào (*) ta có

\(\begin{array}{l}x + yi = \left( {x - yi} \right)\left( {x + yi - 2i} \right)\\ \Leftrightarrow x + yi = {x^2} + xyi - 2xi - xyi + {y^2} - 2y\\ \Leftrightarrow x + yi = {x^2} + {y^2} - 2y - 2xi\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2y = x\\y = - 2x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4{x^2} + 4x = x\\y = - 2x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{x^2} + 3x = 0\\y = - 2x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0;\,\,y = 0\\x = - \dfrac{3}{5};\,\,y = \dfrac{6}{5}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z = - \dfrac{3}{5} + \dfrac{6}{3}i\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 2 số phức \(z\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.