Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông \(ABCD\) cạnh \(2m\) được lát gạch màu trắng và

Câu hỏi số 479023:

Vận dụng

Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông \(ABCD\) cạnh \(2m\) được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ toạ độ \(Oxy\) với \(O\) là tâm hình vuông sao cho \(A\left( {1;1} \right)\) như hình vẽ bên thì các đường cong \(OA\) có phương trình \(y = {x^2}\) và \(y = a{x^3} + bx\). Tính giá trị \(ab\) biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \(\dfrac{1}{3}\)diện tích mặt sàn.

A. \( - 2\)

B. \(2\)

C. \( - 3\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479023

Phương pháp giải

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \). Từ đó tính diện tích 1 cánh của hình trang trí và suy ra diện tích hình trang trí.

- Sử dụng dữ kiện diện tích trang trí màu sẫm chiếm \(\dfrac{1}{3}\)diện tích mặt sàn suy ra 1 phương trình bậc nhất 2 ẩn \(a,\,\,b\).

- Sử dụng: Đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + bx\) đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right)\) suy ra thêm 1 phương trình bậc nhất 2 ẩn \(a,\,\,b\).

- Giải hệ tìm \(a,\,\,b\) và tính \(ab\).

Giải chi tiết

Diện tích 1 cánh của hình trang trí là \({S_1} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - a{x^3} - bx} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{a{x^4}}}{4} - \dfrac{{b{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{1}{3} - \dfrac{a}{4} - \dfrac{b}{2}\).

\( \Rightarrow \) Diện tích hình trang trí là \(S = 4{S_1} = \dfrac{4}{3} - a - 2b\).

Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm \(\dfrac{1}{3}\)diện tích mặt sàn nên \(\dfrac{4}{3} - a - 2b = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow a + 2b = 0\).

Đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + bx\) đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right)\) nên \(a + b = 1\).

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 0\\a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\end{array} \right.\).

Vậy \(ab = - 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.