Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm \(y = f'\left( {x - 1}

Câu hỏi số 479024:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm \(y = f'\left( {x - 1} \right)\) được cho trong hình vẽ bên. Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2x} \right) + 2{x^2} + 2x\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. \(\left( { - 2; - 1} \right)\)

B. \(\left( {1;2} \right)\)

C. \(\left( {0;1} \right)\)

D. \(\left( { - 1;0} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479024

Phương pháp giải

- Tính \(g'\left( x \right)\).

- Đặt \(2x = X - 1\), sử dụng tương giao tìm nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Lập BXD \(g'\left( x \right)\) và dựa vào đáp án để kết luận khoảng đồng biến của hàm số.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,g\left( x \right) = f\left( {2x} \right) + 2{x^2} + 2x\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = 2f'\left( {2x} \right) + 4x + 2\end{array}\)

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {2x} \right) + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( {2x} \right) = - 2x - 1\).

Đặt \(2x = X - 1\) ta có \(f'\left( {X - 1} \right) = - X + 1 - 1 = - X\), khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( {X - 1} \right)\) và \(y = - X\).

Ta có đồ thị hàm số:

Dựa vào đồ thị \( \Rightarrow f\left( {X - 1} \right) = - X \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = - 2\\X = - 1\\X = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = - 2\\2x + 1 = - 1\\2x + 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{3}{2}\\x = - 1\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\), qua các nghiệm này \(g'\left( x \right)\) đổi dấu.

Ta có \(g'\left( 0 \right) = 2f'\left( 0 \right) + 2 > 0\,\,\left( {do\,\,f'\left( 0 \right) > 0} \right)\) nên ta có BXD \(g'\left( x \right)\) như sau:

Vậy hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2x} \right) + 2{x^2} + 2x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.