Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\), cạnh bên \(SD\) vuông

Câu hỏi số 479025:

Vận dụng

Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\), cạnh bên \(SD\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho biết \(AB = AD = a\), \(CD = 2a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) bằng \({30^0}\). Tính thể tích khối chóp đã cho.

A. \(2{a^3}\)

B. \({a^3}\)

C. \(\dfrac{{3{a^3}}}{2}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479025

Phương pháp giải

- Trong \(\left( {SAD} \right)\) kẻ \(DH \bot SA\,\,\left( {H \in SA} \right)\), trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(DK \bot SB\,\,\left( {K \in SB} \right)\). Chứng minh \(DH \bot \left( {SAB} \right)\), \(DK \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {DH;DK} \right) = {30^0}\).

- Đặt \(SD = x\,\,\left( {x > 0} \right)\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(DH,\,\,DK\).

- Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông giải phương trình tìm \(x\).

- Tính thể tích

Giải chi tiết

Trong \(\left( {SAD} \right)\) kẻ \(DH \bot SA\,\,\left( {H \in SA} \right)\), trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(DK \bot SB\,\,\left( {K \in SB} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\AB \bot SD\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot DH\\\left\{ \begin{array}{l}DH \bot AB\\DH \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot \left( {SAB} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD\) \( \Rightarrow ABED\) là hình vuông nên \(BE = AD = a = \dfrac{1}{2}CD\) \( \Rightarrow \Delta BCD\) vuông tại \(B\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot BD\\BC \bot SD\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow BC \bot DK\\\left\{ \begin{array}{l}DK \bot BC\\DK \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow DK \bot \left( {SBC} \right)\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {DH;DK} \right) = {30^0}\).

Mà \(DH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow DH \bot HK \Rightarrow \Delta DHK\) vuông tại \(H\) \( \Rightarrow \angle HDK = {30^0}\).

Đặt \(SD = x\,\,\left( {x > 0} \right)\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(\begin{array}{l}DH = \dfrac{{AD.SD}}{{\sqrt {A{D^2} + S{D^2}} }} = \dfrac{{a.x}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\\DK = \dfrac{{BD.SD}}{{\sqrt {B{D^2} + S{D^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 .x}}{{\sqrt {2{a^2} + {x^2}} }}\end{array}\)

Xét tam giác vuông \(DHK\) ta có: \(\cos \angle HDK = \dfrac{{DH}}{{DK}} \Rightarrow \dfrac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}:\dfrac{{a\sqrt 2 x}}{{\sqrt {2{a^2} + {x^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {2{a^2} + {x^2}} }}{{\sqrt {2{a^2} + 2{x^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {2{a^2} + {x^2}} \right) = 3\left( {2{a^2} + 2{x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 8{a^2} + 4{x^2} = 6{a^2} + 6{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{a^2} = 2{x^2} \Leftrightarrow x = a\end{array}\)

Ta có \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).AD = \dfrac{1}{2}\left( {a + 2a} \right).a = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SD.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.