Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\) và

Câu hỏi số 479028:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\) và \(f\left( {2x} \right) - xf\left( {{x^2}} \right) = 5x - 2{x^3} - 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {xf'\left( x \right)dx} \).

A. \(I = 3\)

B. \(I = - 1\)

C. \(I = 2\)

D. \(I = 5\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479028

Phương pháp giải

- Sử dụng tích phân từng phần để xử lý \(I = \int\limits_1^2 {xf'\left( x \right)dx} \), đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right.\).

- Từ \(f\left( {2x} \right) - xf\left( {{x^2}} \right) = 5x - 2{x^3} - 1\) tính \(f\left( 2 \right)\) bằng cách thay \(x = 1\).

- Biến đổi \(f\left( {2x} \right) - xf\left( {{x^2}} \right) = 5x - 2{x^3} - 1 \Leftrightarrow 2f\left( {2x} \right) - 2xf\left( {{x^2}} \right) = 10x - 4{x^3} - 2\), lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế và tìm \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \).

Giải chi tiết

Xét \(I = \int\limits_1^2 {xf'\left( x \right)dx} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\) ta có

\(\begin{array}{l}I = \left. {xf\left( x \right)} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 2f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \\\,\,\,\,\, = 2f\left( 2 \right) - 1 - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \end{array}\)

Ta có: \(f\left( {2x} \right) - xf\left( {{x^2}} \right) = 5x - 2{x^3} - 1\). Thay \(x = 1\) \( \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = 3\).

\( \Rightarrow I = 5 - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( {2x} \right) - xf\left( {{x^2}} \right) = 5x - 2{x^3} - 1\\ \Leftrightarrow 2f\left( {2x} \right) - 2xf\left( {{x^2}} \right) = 10x - 4{x^3} - 2\end{array}\)

Lấy tích phân 2 vế ta có:

\(\begin{array}{l}2\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx} - \int\limits_0^1 {2xf\left( {{x^2}} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {10x - 4{x^3} - 2} \right)dx} = 2\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)d\left( {2x} \right)} - \int\limits_0^1 {f\left( {{x^2}} \right)d\left( {{x^2}} \right)} = 2\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} - \int\limits_0^1 {f\left( u \right)du} = 2\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\\ \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 2\end{array}\)

Vậy \(I = 5 - 2 = 3\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.