\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm \(\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x - 3} \). Biết

Câu hỏi số 479238:

Vận dụng

\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm \(\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x - 3} \). Biết \(F\left( { - 2} \right) = F\left( 4 \right) - 1 = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{3}\) và \(F\left( { - 3} \right) + F\left( 5 \right) = a\sqrt 3 + b;\,\,a,b \in \mathbb{N}\). Giá trị \(a + b\)bằng

A. \(17\)

B. \(9\)

C. \(12\)

D. \(18\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479238

Phương pháp giải

Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 2x - 3} \).

Giải chi tiết

Ta có \(F\left( x \right) = \int {\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x - 3} dx} \)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 2x - 3} \Rightarrow {t^2} = {x^2} - 2x - 3 \Rightarrow tdt = \left( {x - 1} \right)dx\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {{t^2}dt = \dfrac{{{t^3}}}{3}} } + C\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }}{3} + C\end{array}\)

ĐKXĐ: \({x^2} - 2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le - 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(F\left( x \right) = \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }}{3} + {C_1}\,\,khi\,\,x \le - 1\\\dfrac{{\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }}{3} + {C_2}\,\,khi\,\,x \ge 3\end{array} \right.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 2} \right) = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{3} + {C_1} = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow {C_1} = 0\\F\left( 4 \right) - 1 = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{3} + {C_2} - 1 = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow {C_2} = 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }}{3}\,\,khi\,\,x \le - 1\\\dfrac{{\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }}{3} + 1\,\,khi\,\,x \ge 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 3} \right) = \dfrac{{12\sqrt {12} }}{3} = 8\sqrt 3 \\F\left( 5 \right) = \dfrac{{12\sqrt {12} }}{3} + 1 = 8\sqrt 3 + 1\end{array} \right.\)

Vậy \(F\left( { - 3} \right) + F\left( 5 \right) = 16\sqrt 3 + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 16\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 17\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.