Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}\)

Câu hỏi số 480521:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + z - 6 = 0\) tại điểm \(M\). Gọi \(\left( S \right)\) là một cầu có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\left( {a < 0} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại điểm \(A\) sao cho diện tích tam giác \(IAM\) bằng \(3\sqrt 3 \). Giá trị của \(2a + b - c\) bằng:

A. \( - 2\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. \( - 3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:480521

Phương pháp giải

- Tham số hóa tọa độ điểm \(M \in \left( d \right)\), thay vào phương trình \(\left( P \right)\), từ đó tìm tọa độ điểm \(M\).

- Tham số hóa tọa độ điểm \(I \in d\). Viết PTTS đường thẳng \(AI\).

- Tìm tọa độ \(A = AI \cap \left( P \right)\).

- Giải phương trình \(AI = d\left( {I;\left( P \right)} \right)\).

Giải chi tiết

Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + t}\\{z = - t}\end{array}} \right.\)

Ta có \(M = d \cap \left( P \right)\). Suy ra \(M\left( {1 + 2t;1 + t; - t} \right)\)

Và \(M \in \left( P \right) \Rightarrow 1 + 2t + 2 + 2t - t - 6 = 0 \Leftrightarrow 3t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\).

Suy ra \(M\left( {3;2; - 1} \right)\).

Gọi \(I\left( {1 + 2m;1 + m; - m} \right) \in d\).

Ta có \(A\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(AI\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2m + s}\\{y = 1 + m + 2s}\\{z = - m + s}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(A = AI \cap \left( P \right) \Rightarrow A\left( {1 + 2m + s;1 + m + 2s; - m + s} \right) \in AI\).

Và \(A \in \left( P \right) \Rightarrow 1 + 2m + s + 2 + 2m + 4s - m + s - 6 = 0 \Leftrightarrow s = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}m\)

Suy ra \(A\left( {\dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2}m;2;\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}m} \right)\)

\(AI = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3m - 3} \right|}}{{\sqrt 6 }}.\dfrac{{3\sqrt 2 \left| {m - 1} \right|}}{2} = 3\sqrt 3 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 4\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 1 = 2}\\{m - 1 = - 2}\end{array}} \right.\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 3}\\{m = - 1}\end{array}} \right.\)

Với \(m = 3 \Rightarrow I\left( {7;4; - 3} \right)\) (loại)

Với \(m = - 1 \Rightarrow I\left( { - 1;0;1} \right)\) (nhận)

Vậy \(2a + b - c = 2.\left( { - 1} \right) + 0 - 1 = - 3\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.