Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 3\\ax - 3a +

Câu hỏi số 481281:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 3\\ax - 3a + 7\,\,khi\,\,x \le 3\end{array} \right.\), \(a\) là tham số thực. Nếu \(\int\limits_0^1 {f\left( {{e^x} + 1} \right){e^x}dx} = {e^2}\) thì \(a\) bằng

A. \(\dfrac{{3{e^2} + 4e - 6}}{{e - 1}}\)

B. \(6e - 6\)

C. \(6e + 6\)

D. \( - 6e + 6\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481281

Phương pháp giải

- Đổi biến \(t = {e^x} + 1\).

- Chèn cận 3 vào giữa, chọn hàm \(f\left( t \right)\) phù hợp.

- Tính tích phân và tìm \(a\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = {e^x} + 1 \Rightarrow dt = {e^x}dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2\\x = 1 \Rightarrow t = e + 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {f\left( {{e^x} + 1} \right){e^x}dx} = \int\limits_2^{e + 1} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_2^3 {f\left( t \right)dt} + \int\limits_3^{e + 1} {f\left( t \right)dt} \\ = \int\limits_2^3 {\left( {at - 3a + 7} \right)dt} + \int\limits_3^{e + 1} {\left( {2t + 1} \right)dt} \\ = \left. {\left( {a\dfrac{{{t^2}}}{2} - 3at + 7t} \right)} \right|_2^3 + \left. {\left( {{t^2} + t} \right)} \right|_3^{e + 1}\\ = \dfrac{{9a}}{2} - 9a + 21 - \left( {2a - 6a + 14} \right) + {\left( {e + 1} \right)^2} + \left( {e + 1} \right) - 12\\ = - \dfrac{a}{2} + {e^2} + 3e - 3\\ \Rightarrow - \dfrac{a}{2} + {e^2} + 3e - 3 = {e^2}\\ \Rightarrow \dfrac{a}{2} = 3e - 3 \Leftrightarrow a = 6e - 6\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.