Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có đường kính \(AB\) cố định, đường kính \(CD\) thay

Câu hỏi số 481320:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có đường kính \(AB\) cố định, đường kính \(CD\) thay đổi sao cho \(CD\) không vuông góc và cũng không trùng với \(AB\). Các đường thẳng \(BC\) và \(BD\) cắt tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) lần lượt ở \(E\) và \(F.\)

a) Chứng minh rằng \(CDFE\) là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(EF,BM\) cắt \(CD\) tại \(N.\) Chứng minh rằng \(\Delta BCN\) vuông.

c) Gọi \(O'\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(CDFE\). Chứng minh rằng \(O'\) luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định khi \(CD\) thay đổi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481320

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\angle BCD = \angle BFE\)

b) Chứng minh \(BM \bot CD\) bằng cách chứng minh \(\angle MBD + \angle ODB = 90^\circ \)

c) Chứng minh \(O'OBM\) là hình bình hành

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng \(CDFE\) là tứ giác nội tiếp.

Vì \(OA = OB = OC = OD \Rightarrow ACBD\) là hình bình hành, lại có \(\angle ACB = 90^\circ \) (\(AB\) là đường kính) nên \(ACBD\) là hình chữ nhật.

, mà \(\angle BAD = \angle BFE\) (cùng phụ \(\angle ABD\)) \( \Rightarrow \angle BCD = \angle BFE\)

\( \Rightarrow CDFE\) là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(EF,BM\) cắt \(CD\) tại \(N.\) Chứng minh rằng \(\Delta BCN\) vuông.

\(M\) là trung điểm \(EF \Rightarrow MB = MF\) \( \Rightarrow \angle MBD = \angle MFB\) (\(\Delta MFB\) cân tại \(M\))

Có \(\angle ODB = \angle OBD\) (\(\Delta OBD\) cân tại \(O\))

Suy ra \(\angle MBD + \angle ODB = \angle MFB + \angle OBD = 90^\circ \) (\(\Delta ABF\) vuông tại \(A\))

Suy ra \(MB \bot CD \Rightarrow \Delta BCN\) vuông tại \(N\).

c) Gọi \(O'\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(CDFE\). Chứng minh rằng \(O'\) luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định khi \(CD\) thay đổi.

Vì \(M\) là trung điểm \(FE \Rightarrow O'M \bot FE \Rightarrow O'M\,{\rm{//}}\,AB\)

Vì \(O\) là trung điểm \(CD \Rightarrow O'O \bot CD \Rightarrow O'O\,{\rm{//}}\,MB\)

Suy ra \(O'OBM\) là hình bình hành \( \Rightarrow O'M = OB = R\) không đổi.

Vậy \(O'\) luôn nằm trên đường thẳng \(d\) song song với tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn sao cho \(d\) cách tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn một khoảng \(R\) và \(d\) nằm khác phía \(O\) so với tiếp tuyến tại \(A\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link