Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12

Câu hỏi số 481654:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0\). Gọi \(I\) là tâm và \(R\) là bán kính của \(\left( C \right)\). Gọi \(M\left( {a;\,b} \right),\,\,a > 0\) thuộc đường thẳng \(d:2x - y + 3 = 0\) sao cho \(MI = 2R\). Khi đó, giá trị của biểu thức \({a^2} + {b^2}\) là

A. \(15\)

B. \(137\)

C. \(\dfrac{{909}}{5}\)

D. \(136\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481654

Phương pháp giải

- Xác định tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\).

- Xác định tọa độ điểm \(M\left( {t;\,\,2t + 3} \right)\) và tính véc-tơ \(IM\).

- Sử dụng đề bài để tìm \(t\). Từ đó tính được giá trị của biểu thức \({a^2} + {b^2}\).

Giải chi tiết

\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 6y = 12\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {2;\,\,3} \right)\\R = 5\end{array} \right.\)

\(M \in d:2x - y + 3 = 0\)\( \Rightarrow M\left( {t;\,\,2t + 3} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {t - 2;\,\,2t} \right)\)

Theo đề bài, ta có :

\(\begin{array}{l}IM = 2R\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {t - 2} \right)}^2} + {{\left( {2t} \right)}^2}} = 10\\ \Leftrightarrow 5{t^2} - 4t - 96 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = -4\\t = \dfrac{{24}}{5}\end{array} \right.\,\,\,\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {-4;\,\,-5} \right)\\M\left( { \dfrac{{24}}{5};\,\,\dfrac{{63}}{5}} \right)\end{array} \right.\)

Mà \(a > 0\) nên \(a = \dfrac{24}{5};\,\,b = \dfrac{63}{5}\).

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2}\)\( =\dfrac{909}{5} \)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10