Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) tạo bởi ba đường thẳng: \(4x - 3y - 65

Câu hỏi số 481674:

Vận dụng cao

Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) tạo bởi ba đường thẳng:

\(4x - 3y - 65 = 0;{\rm{ }}7x - 24y + 55 = 0;{\rm{ }}3x + 4y-5 = 0\)

A. \({\left( {x - 10} \right)^2} + {\rm{ }}{y^2} = {\rm{ }}25\;\)

B. \({\left( {x + 10} \right)^2} + {\rm{ }}{y^2} = 5\;\)

C. \({\left( {x - 10} \right)^2} + {y^2} = 5\;\)

D. \({\left( {x + 10} \right)^2} + {\rm{ }}{y^2} = 25\;\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481674

Phương pháp giải

Giả sử \(\Delta ABC\) có phương trình của các cạnh là:

\(AB:{\rm{ }}4x - 3y - 65 = 0\)

\(BC:{\rm{ }}7x - 24y + 55 = 0\)

\(CA:{\rm{ }}3x + {\rm{ }}4y--5 = 0\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\).

Áp dụng: Khoảng cách từ tâm \(I\) đến các cạnh của tam giác \(ABC\) đều bằng nhau và bằng bán kính.

Giải chi tiết

Giả sử \(\Delta ABC\) có phương trình của các cạnh là:

\(AB:{\rm{ }}4x - 3y - 65 = 0\)

\(BC:{\rm{ }}7x - 24y + 55 = 0\)

\(CA:{\rm{ }}3x + {\rm{ }}4y--5 = 0\)

Ta có : \(AB \cap AC = \left\{ A \right\} \Leftrightarrow \) Điểm \(A\) thỏa mãn hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 65 = 0\\3x + {\rm{ }}4y--5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 11\\y = - 7\end{array} \right.\)

\(AB \cap BC = \left\{ B \right\} \Leftrightarrow \) Điểm \(B\) thỏa mãn hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 65 = 0\\7x - 24y + 55 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 23\\y = 9\end{array} \right.\)

\(CA \cap BC = \left\{ C \right\} \Leftrightarrow \) Điểm \(C\) thỏa mãn hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + {\rm{ }}4y--5 = 0\\7x - 24y + 55 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A\left( {11; - 7} \right);\)\(B\left( {23;\,\,9} \right);{\rm{ }}C\left( { - 1;\,\,2} \right)\)

\(\begin{array}{l}\; \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {23 - 11} \right)}^2} + {{\left( {9 + 7} \right)}^2}} = 20\\\,\,\,\,\,\,BC = \sqrt {{{\left( { - 1 - 23} \right)}^2} + {{\left( {2 - 9} \right)}^2}} = 25\\\,\,\,\,\,\,CA = \sqrt {{{\left( {11 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 7 - 2} \right)}^2}} = 15\end{array}\)

Xét tam giác \(ABC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}C{A^2} + A{B^2} = {15^2} + {20^2} = 625\\B{C^2} = {25^2} = 625\end{array} \right\}\) \( \Rightarrow C{A^2} + A{B^2} = B{C^2}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\)(định lý Py – ta – go đảo)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC\)\( = \dfrac{1}{2}15.20 = 150\)

\(\,{r_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{p_{\Delta ABC}}}}\)\( = \dfrac{{150}}{{\dfrac{{15 + 20 + 25}}{2}}}\)\( = \dfrac{{150}}{{30}} = 5\)

Gọi tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) là \(I\left( {x;\,\,y} \right)\)

Þ Khoảng cách từ tâm \(I\left( {x;\,\,y} \right)\) đến đường thẳng đã cho đều bằng r = 5 nên ta có:

\(5 = \dfrac{{\left| {4x - 3y - 65} \right|}}{5}\)\( = \dfrac{{\left| {7x - 24y + 5} \right|}}{{25}} = \dfrac{{\left| {3x + 4y - 5} \right|}}{5}\)

\( \Rightarrow \) Ta tìm được \(I\left( {10;\,\,0} \right)\).

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \({\left( {x - 10} \right)^2} + {y^2} = 25\;\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10