Hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\)có đáy \(ABCD\) là hình vuông. Chứng minh rằng \(mp\left( {DBB'D'}

Câu hỏi số 482036:

Vận dụng

Hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\)có đáy \(ABCD\) là hình vuông.

Chứng minh rằng \(mp\left( {DBB'D'} \right)\) vuông góc với \(mp\left( {ACC'A'} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482036

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.

Chứng minh \(BD \bot mp\left( {ACC'A'} \right)\); \(BD \subset mp\left( {DBB'D'} \right);\,\,BD \bot AC\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(DD' \bot D'A'\) (vì \(ADD'A'\) là hình chữ nhật)

\(DD' \bot D'C'\) (vì \(DCC'D'\) là hình chữ nhật)

Mà \(D'A' \subset mp\left( {A'B'C'D'} \right);\)\(D'C' \subset mp\left( {A'B'C'D'} \right)\).

\( \Rightarrow DD' \bot mp\left( {A'B'C'D'} \right)\)

\( \Rightarrow DD' \bot B'D'\,\,\left( 1 \right)\)

Ta lại có: \(\left. \begin{array}{l}DD'\parallel BB'\\DD' = BB'\end{array} \right\}\) \( \Rightarrow DBB'D'\)là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)\(\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(DBB'D'\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Gọi \(O'\)là giao điểm của \(A'C'\)và \(B'D'\).

\( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(BD\); \(O'\) là trung điểm của \(B'D'\)(tính chất)

\( \Rightarrow OO'\)là đường trung bình của hình chữ nhật \(DBB'D'\)

\( \Rightarrow OO'\parallel DD'\) mà \(DD' \bot DB\)

\( \Rightarrow OO' \bot DB\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\).

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}BD \bot OO'\\BD \bot AC\\OO',\,\,AC \subset mp\left( {ACC'A'} \right)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow BD \bot mp\left( {ACC'A'} \right)\)

Mà \(BD \subset mp\left( {DBB'D'} \right);\,\,BD \bot AC\)

\( \Rightarrow \)\(mp\left( {DBB'D'} \right) \bot mp\left( {ACC'A'} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link