Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có đáy \(ABCD\) là hình thang cân \(\left(

Câu hỏi số 482050:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có đáy \(ABCD\) là hình thang cân \(\left( {AB\parallel CD} \right)\) có \(AC\) vuông góc với BD.

a) Đường thẳng BD và \({A_1}C\) có cắt nhau không? Vì sao?

b) Đường thẳng AD song song với những mặt phẳng nào?

c) Đường thẳng AC vuông góc với những mặt phẳng nào?

d) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng song song với nhau.

e) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482050

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa và tính chất của hình lăng trụ đứng.

Giải chi tiết

a) Đường thẳng BD và \({A_1}C\) không cắt nhau, bởi nếu chúng cắt nhau thì 4 điểm\(B,C,D,{A_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng

\( \Rightarrow {A_1} \in mp\left( {BCD} \right)\)\( \Leftrightarrow {A_1} \in mp\left( {ABCD} \right)\) (mâu thuẫn)

b) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AD\parallel {A_1}{D_1}\\{A_1}{D_1} \subset mp\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow AD\parallel mp\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}AD\parallel {A_1}{D_1}\\{A_1}{D_1} \subset mp\left( {{A_1}{D_1}B} \right)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow AD\parallel mp\left( {{A_1}{D_1}B} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}AD\parallel {A_1}{D_1}\\{A_1}{D_1} \subset mp\left( {{A_1}{D_1}C} \right)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow AD\parallel mp\left( {{A_1}{D_1}C} \right)\)

Vậy có 3 mặt phẳng \(mp\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\), \(mp\left( {{A_1}{D_1}B} \right)\), \(mp\left( {{A_1}{D_1}C} \right)\) song song với AD.

c) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC \bot BD}\\{AC \bot B{B_1}}\end{array}} \right.\)

Xét mặt phẳng\(\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\)có : \(BD \cap B{B_1} = \left\{ B \right\}\)

\( \Rightarrow AC \bot mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\)

Vậy có duy nhất \(mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\)vuông góc với \(AC\).

d) Xét mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)và\(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)có:

\(AD\parallel \,{A_1}{D_1}\) (hình chữ nhật \(A{A_1}{D_1}D\))

\(AB\parallel \,{A_1}{B_1}\)(hình chữ nhật \(A{A_1}{B_1}B\))

\(AB \cap AD = \left\{ A \right\}\); \({A_1}{B_1} \cap {A_1}{D_1} = \left\{ {{A_1}} \right\}\)

\( \Rightarrow mp\left( {ABCD} \right)\parallel mp\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)

Xét mặt phẳng \(\left( {AB{B_1}{A_1}} \right)\)và\(\left( {CD{D_1}{C_1}} \right)\)có:

\(AB\parallel \,CD\) (hình thang cân \(ABCD\))

\(A{A_1}\parallel \,D{D_1}\)(hình chữ nhật \(A{A_1}{D_1}D\))

\(AB \cap A{A_1} = \left\{ A \right\}\); \(C{D_1} \cap D{D_1} = \left\{ {{D_1}} \right\}\)

\( \Rightarrow mp\left( {AB{B_1}{A_1}} \right)\parallel mp\left( {CD{D_1}{C_1}} \right)\)

Vậy các cặp mặt phẳng song song với nhau là: \(mp\left( {ABCD} \right)\parallel mp\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) và \(mp\left( {AB{B_1}{A_1}} \right)\parallel mp\left( {CD{D_1}{C_1}} \right)\)

e) Dựa trên tính chất của hình lăng trụ đứng ta có ngay các mặt phẳng vuông góc với hai đáy \(mp\left( {ABCD} \right)\) và \(mp\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là: \(mp\left( {A{A_1}{B_1}B} \right)\), \(mp\left( {B{B_1}{C_1}C} \right)\), \(mp\left( {C{C_1}{D_1}D} \right)\), \(mp\left( {A{A_1}{D_1}D} \right)\), \(mp\left( {A{A_1}{C_1}C} \right)\), \(mp\left( {BD{D_1}{B_1}} \right)\).

Mặt khác:

+ Vì \(AC \bot mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\) nên các mặt phẳng chứa AC đều vuông góc với \(mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\), do đó ta có:

\(mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right) \bot mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\), \(mp\left( {AC{B_1}} \right) \bot mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\), \(mp\left( {AC{D_1}} \right) \bot mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\).

+ Vì \(BD \bot mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\) nên các mặt phẳng chứa \(BD\) đều vuông góc với \(mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\), do đó ta có:

\(mp\left( {BD{D_1}{B_1}} \right) \bot mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\)

\(mp\left( {BD{A_1}} \right) \bot mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\)

\(mp\left( {BD{C_1}} \right) \bot mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\)

+ Vì \({A_1}{C_1} \bot mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\) nên các mặt phẳng chứa \({A_1}{C_1}\) đều vuông góc với \(mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\), do đó ta có thêm: \(mp\left( {{A_1}{C_1}B} \right) \bot mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\), \(mp\left( {{A_1}{C_1}D} \right) \bot mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\)

+ Vì \({B_1}{D_1} \bot mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\) nên các mặt phẳng chứa \(BD\) đều vuông góc với \(mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\), do đó ta có thêm:

\(mp\left( {{B_1}{D_1}A} \right) \bot mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\), \(mp\left( {{B_1}{D_1}C} \right) \bot mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link