Cho \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{{\cos }^2}x}}\) trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) và

Câu hỏi số 482505:

Vận dụng

Cho \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{{\cos }^2}x}}\) trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) và \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(x.f'\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 0\). Biết \(\alpha \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) và \(\tan \alpha = 3\). Tính \(F\left( \alpha \right) - 10{\alpha ^2} + 3\alpha \).

A. \( - \dfrac{1}{4}\ln 10\)

B. \( - \dfrac{1}{2}\ln 10\)

C. \(\dfrac{1}{2}\ln 10\)

D. \(\ln 10\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482505

Giải chi tiết

Theo công thức tích phân từng phần ta có: \(\int {x.f'\left( x \right)dx} = xf\left( x \right) - \int {f\left( x \right)dx} \)

Cũng theo công thức tích phân từng phần lại có:

\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {x.\left( {\tan x} \right)'dx} = x.\tan x - \int {\tan xdx} \)\( = x.\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

Do đó \(F\left( x \right) = \int {x.f'\left( x \right)dx} = x.f\left( x \right) - x.\tan x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

Mà \(F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\) nên \(F\left( x \right) = x.f\left( x \right) - x.\tan x - \ln \left| {\cos x} \right|\).

Lại có \(\tan \alpha = 3\) nên \(\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 10 \Rightarrow f\left( \alpha \right) = \dfrac{\alpha }{{{{\cos }^2}\alpha }} = 10\alpha \).

Từ đó \(F\left( \alpha \right) - 10{\alpha ^2} + 3\alpha = - \ln \dfrac{1}{{\sqrt {10} }} = \dfrac{1}{2}\ln 10.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.