Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi

Câu hỏi số 483708:

Vận dụng

Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi bằng 18. Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ bằng:

A. \(27\pi \)

B. \(64\pi \)

C. \(32\pi \)

D. \(216\pi \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483708

Phương pháp giải

- Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Dựa vào chu vi thiết diện qua trục biểu diễn \(h\) theo \(r\).

- Thể tích khối trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \pi {r^2}h\).

- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của thể tích khối trụ.

Giải chi tiết

Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Vì thiết diện qua trục là hình chữ nhật có chu vi bằng \(18\) nên ta có \(2\left( {h + 2R} \right) = 18 \Leftrightarrow h = 9 - 2r\).

Vì \(h > 0\) nên \(9 - 2r > 0 \Leftrightarrow r < \dfrac{9}{2}\).

Thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi {r^2}\left( {9 - 2r} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( r \right) = {r^2}\left( {9 - 2r} \right) = 9{r^2} - 2{r^3}\) với \(0 < r < \dfrac{9}{2}\) ta có: \(f'\left( r \right) = 18r - 6{r^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}r = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\\r = 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \({V_{\max }} = \pi .f\left( 3 \right) = \pi {.3^2}\left( {9 - 2.3} \right) = 27\pi \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.