Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^4}{\left(

Câu hỏi số 483720:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^4}{\left( {x - 3} \right)^3}\left( {{x^2} + mx} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {2x + 1} \right)\) có đúng 1 điểm cực trị.

A. \(1\)

B. \(3\)

C. \(4\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483720

Phương pháp giải

- Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) xác định các nghiệm bội lẻ.

- Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {2x + 1} \right)\), tính \(g'\left( x \right)\) và giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có duy nhất 1 nghiệm bội lẻ.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^4}{\left( {x - 3} \right)^3}\left( {{x^2} + mx} \right)\\f'\left( x \right) = {x^3}{\left( {x + 1} \right)^4}{\left( {x - 3} \right)^3}\left( {x + m} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,3} \right)\\x = - 1\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,4} \right)\\x = 3\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,3} \right)\\x = - m\,\,\left( {nghiem\,\,don} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {2x + 1} \right)\) ta có \(g'\left( x \right) = 2f'\left( {2x + 1} \right)\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 0\\2x + 1 = 3\\2x + 1 = m\end{array} \right.\) (ta không xét các nghiệm bội chẵn vì qua đó \(g'\left( x \right)\) không đổi dấu) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{2}\\x = 1\\x = \dfrac{{m - 1}}{2}\end{array} \right.\).

Để hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng 1 điểm cực trị thì phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có duy nhất 1 nghiệm bội lẻ \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{m - 1}}{2} = - \dfrac{1}{2}\\\dfrac{{m - 1}}{2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = - 1\\m - 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 3\end{array} \right.\).

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn điều kiện.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.